若抛物线 y = 与 x 轴交于点 A , B ,与 y 轴交于点 C ,则 △ ABC 的面积为( )
A . 24 B . 36 C . 48 D . 96
C
【分析】先根据抛物线 y = 找到与坐标轴的三个交点,则 △ ABC 的面积可求.
【详解】解:令 y =0 ,则可得方程 =0 ,
解得: =6 , =-2 ,
故它与 x 轴的两个交点分别是:( -2 , 0 ),( 6 , 0 ),
当 x =0 时, y =-12 ,
故它与 y 轴的交点是:( 0 , -12 ),
∴ 该三角形的面积为 .
故选: C .
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点求法,解决此问题的关键是正确求出抛物线与坐标轴的交点坐标.
从 1 、 2 、 3 、 4 四个数中随机选取两个不同的数,分别记为 a , c ,则二次函数 y = ax 2 +4 x + c 与 x 轴有两个不同交点的概率为 ( )
A . B . C . D .
B
【分析】根据题意,画出树状图,可得一共有 12 种等可能的结果,其中使判别式 Δ = 16 ﹣ 4 ac > 0 ,即 ac < 4 的有 4 种结果,再根据概率公式计算,即可求解.
【详解】解:根据题意,画树状图得:
一共有 12 种等可能的结果,其中使判别式 Δ = 16 ﹣ 4 ac > 0 ,即 ac < 4 的有 4 种结果,
∴ 二次函数 y = ax 2 +4 x + c 与 x 轴有两个不同交点的概率为 ;
故选: B .
【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率,二次函数与 x 轴的交点问题,根据题意,准确画出树状图或列出表格是解题的关键.
若 , 是方程 ( c 为常数)两个不相等的实数根,且满足 ,则 c 的取值范围是( )
A . B . C . D .
C
【分析】利用一元二次方程根的判别式可得 ,然后设 ,根据抛物线与 x 轴的交点可得当 x =1 时, y > 0 ,即可求解.
【详解】解: ∵ , 是方程 ( c 为常数)两个不相等的实数根,
∴ ,解得: ,
设 ,
∵1 > 0 ,
∴ 抛物线开口向上,
∵ ,
∴ 当 x =1 时, y > 0 ,
∴ ,解得: ,
∴ c 的取值范围是 .
故选: C
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式,抛物线与 x 轴的交点,熟练掌握相关知识点是解题的关键.
如图,在平面直角坐标系中,二次函数 的图像与 x 轴交于 A 、 C 两点,与 x 轴交于点 ,若 P 是 x 轴上一动点,点 D 的坐标为 ,连接 PD ,则 的最小值是( )
A . 4 B . C . D .
A
【分析】 过点 P 作 PJ ⊥ BC 于 J ,过点 D 作 DH ⊥ BC 于 H ,根据 ,求出 的最小值即可解决问题.
【详解】 解:连接 BC ,过点 P 作 PJ ⊥ BC 于 J ,过点 D 作 DH ⊥ BC 于 H .
∵ 二次函数 的图像 与 x 轴交于点 ,
∴ b = 2 ,
∴ 二次函数的解析式为 ,令 y = 0 , - x 2 + 2 x + 3 = 0 ,
解得 x =﹣ 1 或 3 ,
∴ A (﹣ 1 , 0 ),
令 x = 0 , y =3 ,
∴ B ( 0 , 3 ),
∴ OB = OC = 3 ,
∵∠ BOC = 90° ,
∴∠ OBC = ∠ OCB = 45° ,
∵ D ( 0 , - 1 ),
∴ OD = 1 , BD = 4 ,
∵ DH ⊥ BC ,
∴∠ DHB = 90° ,
设 ,则 ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ PJ ⊥ CB ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ DP + PJ 的最小值为 ,
∴ 的最小值为 4 .
故选: A .
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质,以及等腰直角三角形的判定和性质,垂线段最短等知识,得到 ∠ OBC = ∠ OCB = 45° , 是解题的关键 .
如图,若二次函数 图象的对称轴为 ,与 轴交于点 ,与 轴交于点 、点 ,则 ① 二次函数的最大值为 ; ② ; ③ ; ④ 当 时, ;其中正确的个数是( )
A . 1 B . 2 C . 3 D . 4
C
【分析】先观察函数图像,根据二次函数的图象与性质即可求出答案.
【详解】解: 由图可知: x =1 是抛物线的对称轴,且抛物线的开口向下,与 y 轴交点在 y 轴正半轴,
∴ ,当 x =1 时, y 的最大值为 y = a + b + c ,故 ① 正确;
∴ ,
∴ ,故 ② 正确;
由图象可知,函数图像与 x 轴有两个不同的交点,故 ,故 ③ 错误;
由函数图象可知当 时, 故 ④ 正确;
故选 C .
【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于基础题型.
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