C

【分析】连接 OD ， OC ，先利用圆周角定理求出 ∠ AOD ，从而求出 ∠ DOB ，再根据 =2 ，求出 ∠ BOC ，进而求出 ∠ CAO ，最后利用三角形的外角进行计算即可解答．

【详解】解：连接 OD ， OC ，

∵∠ ACD =20° ，

∴∠ AOD =2∠ ACD =40° ，

∴∠ DOB =180°-∠ AOD =140° ，

∵ =2 ，

∴∠ BOD =2∠ BOC ，

∴∠ BOC =70° ，

∴∠ CAO = ∠ BOC =35° ，

∴∠ AED =∠ ACD +∠ CAO =55° ，

故选： C ．

【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系、三角形外角的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

C

【分析】根据图形所示，阴影部分的面积是圆面积的一半与三角形 面积的和，圆的半径是 ，圆面积的一半就是 ，连接 ，根据垂径定理得 ， ，根据直径所对的圆周角是直角可得 ，则 是等腰直角三角形，可得 即可求解．

【详解】解：如果所示，圆半径是 ，连接 ， ，

， ，

∴ ，

∵ AC 为直径，

∴ ，

∴ 是等腰直角三角形，

∴ ，

∴ ， ，

∴ ．

故选： C ．

【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，与圆相关的阴影部分的面积的计算．熟练掌握圆面积，直角三角形面积的计算是解题的关键．

C

【分析】根据 是 的内接三角形，可得 OA = OC ，从而得到 ∠ ACO =∠ OAC =20° ，进而得到 ∠ AOC =140° ，再由圆周角定理，即可求解．

【详解】解： ∵ 是 的内接三角形，

∴ OA = OC ，

∴∠ ACO =∠ OAC =20° ，

∴∠ AOC =180°-∠ OAC -∠ ACO =140° ，

∴ ．

故选： C

【点睛】本题主要考查了三角形的外接圆和外心，圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半是解题的关键．

B

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到 ∠ AOC = ∠ AOB ，再根据圆周角定理解答即可．

【详解】解：连接 OC ，如图所示，

∵ 点 C 是 的中点， ∠ AOB =140° ，

∴∠ AOC = ∠ AOB =70° ，

由圆周角定理得， ∠ D = ∠ AOC =35° ，

故选： B ．

【点睛】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系定理、圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．

A

【分析】先根据等腰三角形性质得 ∠ OCA =∠ OAC ， GMF 由圆周角定理求得 ∠ AOC =140° ，然后利用三角形内角和求解即可．

【详解】解： ∵ OA = OC ，

∴∠ OCA =∠ OAC ，

∵∠ AOC =2∠ ABC =2×70°=140° ，

∴∠ OCA = =20° ，

故选： A ．

【点睛】本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．

D

【分析】根据圆心角、弧、弦的关系对 A 进行判断，根据对称轴的定义对 B 进行判断，根据垂径定理的推论对 C 进行判断，根据圆周角定理的推论对 D 进行判断．

【详解】解： A 、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，故此选项错误，不符合题意；

B 、圆是轴对称图形， 任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴，故此选项错误，不符合题意；

C 、平分弦（非直径）的直径一定垂直于这条弦，故此选项错误，不符合题意；

D 、等弧所对的圆周角相等正确，故此选项正确，符合题意，

故选： D ．

【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是掌握圆心角、弧、弦的关系，圆的对称性，垂径定理及圆周角定理的推论．

C

【分析】连接 BD ，由直径所对的圆周角等于 90 度可得 ，进而可知 ，再由圆周角定理即可求解．

【详解】解：如图；连接 BD ，

∵ 是 的直径，

，

∵ ，

∴ ，

，

∴ ．

故选： C ．

【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角等于 90 度，掌握圆周角定理和推论是解题的关键．

C

【分析】由 AB 是 ⊙ O 的直径，可得 ∠ ACB ＝ 90° ，根据已知条件可得 ∠ ABC 的度数，由 D 为弧 AC 的中点，可得 ，即可得出 ，再根据三角形外角定理 ∠ AED ＝ ∠ A ＋ ∠ ABD 代入计算即可得出答案．

【详解】解： ∵ AB 是 ⊙ O 的直径，

∴∠ ACB ＝ 90° ，

∵∠ A ＝ 36° ，

∴∠ ABC ＝ 90° ﹣ ∠ A ＝ 90° ﹣ 36° ＝ 54° ，

∵ D 为弧 AC 的中点，

∴ ，

∴ ，

∴∠ AED ＝ ∠ A ＋ ∠ ABD ＝ 36° ＋ 27° ＝ 63° ．

故选： C ．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧、弦，圆心角之间的关系，熟练掌握圆周角定理，弧、弦，圆心角之间的关系进行求解是解决本题的关键．

C

【分析】如图所示，连接 OB ， OC ，根据同圆中等弦所对的圆周角相等得到 ∠ BOC =∠ DOE ，

再由同弧所对的圆周角是圆心角的一半求出 ∠ BOC 的度数即可得到答案．

【详解】解：如图所示，连接 OB ， OC ，

∵ 在圆 O 中， BC = DE ，

∴∠ BOC =∠ DOE ，

∵∠ BAC =24° ，

∴∠ BOC =48° ，

∴∠ DOE =∠ BOC =48° ，

故选： C ．

【点睛】本题主要考查了同圆中等弦所对的圆周角相等，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键．

A

【分析】过点 O 作 OD ⊥ BC ，垂足为 D ，根据圆周角定理，垂径定理，得到 ∠ BOC ＝ 120° ， ∠ OBC ＝ 30° ， BD = CD ，在直角三角形 DOB 中计算 BD 的长，继而得到 BC =2 BD ．

【详解】过点 O 作 OD ⊥ BC ，垂足为 D ，

因为 ∠ BAC ＝ 60° ， OB = OC ，

所以 ∠ BOC ＝ 120° ， ∠ OBC ＝ 30° ， BD = CD ，

在直角三角形 DOB 中， OB =1 ，

所以 OD = ， BD = ，

所以 BC =2 BD = ．

故选 A ．

【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握三个定理是解题的关键．

72°

【分析】连接圆心和点 B 点 E ，构造圆心角，利用正五边形的性质求得圆心角的度数，从而求得 ∠BFE 的度数即可．

【详解】

如图，连接 OE 、 OB ，

∵ 正五边形 ABCDE 内接于 ⊙O ，

∴∠BOE= ×2=144° ，

∴∠BFE= ∠BOE=72° ，

故答案为： 72° ．

C

【分析】先利用垂径定理，由 C 为 的中点得到 OC ⊥ AB ，则 ∠ A +∠ AOC =90° ，然后根据圆周角定理得到 ∠ AOC =2∠ ADC ，加上 ∠ A =∠ B ，于是可判断 C 选项一定正确．

【详解】 ∵ C 为 的中点，

∴ OC ⊥ AB ，

∴∠ A +∠ AOC ＝ 90° ，

∵∠ AOC ＝ 2∠ ADC ，

∴2∠ ADC +∠ A ＝ 90° ，

∵ OA ＝ OB ，

∴∠ A ＝ ∠ B ，

∴2∠ ADC +∠ B ＝ 90° ．

故选： C ．

【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理．

C

【分析】如图，连接 BC ，根据圆周角定理可知： ，根据锐角三角函数求出 ∠ CAB 的度数，再根据等边对等角，即可求出 ∠ ACO 的度数．

【详解】解：如图，连接 BC ，

∵ AB 是 ⊙ O 的直径，

∴ ，

∵ AB =4 ， AC =2 ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

故选 C ．

【点睛】本题考查圆周角定理，以及利用三角函数求角的度数．圆中遇到直径，经常利用圆周角定理构造直角三角形来解题．

C

【分析】利用圆周角与圆心角的关系，求出 ∠ ACB 的度数．

【详解】解： ⊙ O 是 △ ABC 的外接圆， ∠ AOB =80° ，

∴∠ ACB = ∠ AOB = ×80°=40° ．

故选： C ．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

C

【分析】根据监控角度可推出该角对应的弧的度数，而圆的度数是 360 度，由此可求出最少需要多少台这样的监视器．

【详解】解：根据圆周角定理，一台监视器所对应的弧的度数为： ，

∵ ，

∴ 至少需要 3 台．

故选 C ．

【点睛】本题主要考查圆周角定理的实际应用，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．

A

【分析】连接 CD ，根据圆周角定理可知 ∠ OBD =∠ OCD ，再由勾股定理求出 CD 的长，利用锐角三角函数的定义即可得出结论．

【详解】解：连接 CD ，

∵∠ OBD 与 ∠ OCD 是同弧所对的圆周角，

∴∠ OBD =∠ OCD ．

∵ C (8,0) ， D (0,6) ，

∴ CD = =10 ，

∴sin∠ OBD = ．

故选： A ．

【点睛】本题考查的是圆周角定理，锐角三角函数，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．

B

【分析】根据切线的性质得到 ，根据圆周角定理得到 ，根据直角三角形的性质计算即可．

【详解】解： 是 的切线，

，

由圆周角定理得， ，

，

故选： B ．

【点睛】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．

C

【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可．

【详解】解： ∵ A ， B ， C 是 ⊙ O 上的三点，

∴∠ ABC = ∠ AOC =

故选 C ．

【点睛】本题考查圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半．

D

【分析】 连接 OA ，过点 O 作 OF ⊥ AC 于 F ，根据圆周角定理和 30 °直角三角形的性质求解即可 ．

【详解】 解：连接 OA ，过点 O 作 OF ⊥ AC 于 F ，

则 AF ＝ FC ，

∵ ＝ ，

∴ AC ＝ BC ，

∵∠ CAB ＝ 60° ，

∴∠ CBA ＝ ∠ CAB ＝ 60° ，

由圆周角定理得： ∠ AOC ＝ 2∠ CBA ＝ 120° ，

∵ OA ＝ OC ，

∴∠ OAC ＝ 30° ，

∴在 中

∴ AF ＝ 2× ＝ ，

∴ AC ＝ 2 AF ＝ 2 ，

故选 D ．

【点睛】本题考查了圆周角定理和 30 °直角三角形的性质求 ，解决本题的关键是掌握圆周角定理．

B

【分析】首先连接 BE ，由圆周角定理即可得 ∠ BEC 的度数、 ∠ BED 的度数，然后由圆周角定理，再根据角的和差即可得解．

【详解】：解：连接 BE ，

∵∠ BOD ＝ 70° ，

∴∠ BED ＝ ∠ BOD ＝ 35° ，

∵∠ BEC ＝ ∠ BAC ＝ 15° ，

∴∠ CED ＝ ∠ BED −∠ BEC ＝ 35°−15° ＝ 20° ，

故选： B ．

【点睛】此题考查了圆周角定理．注意准确作出辅助线是解此题的关键．