如图， 为 的直径， C 为 上一点，连接 ， D 为 延长线上一点，连接 ，且 ．

（ 1 ）求证： 是 的切线；

（ 2 ）若 的半径为 ， 的面积为 ，求 的长；

（ 3 ）在（ 2 ）的条件下， E 为 上一点，连接 交线段 于点 F ，若 ，求 的长．

如图，正六边形 的边长为 6 ，以顶点 A 为圆心， 的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（ ）

A ． B ． C ． D ．

我们对一个三角形的顶点和边都赋给一个特征值，并定义：从任意顶点出发，沿顺时针或逆时针方向依次将顶点和边的特征值相乘，再把三个乘积相加，所得之和称为此三角形的顺序旋转和或逆序旋转和如图 1 ， 是该三角形的顺序旋转和， 是该三角形的逆序旋转和．已知某三角形的特征值如图 2 ，若从 1 ， 2 ， 3 中任取一个数作为 x ，从 1 ， 2 ， 3 ， 4 中任取一个数作为 y ，则对任意正整数 k ，此三角形的顺序旋转和与逆序旋转和的差都小于 4 的概率是 _________ ．

先化简，再求值： ，其中 ．

在 中， ，将 绕点 B 顺时针旋转得到 ，其中点 A ， C 的对应点分别为点 ， ．

（ 1 ）如图 1 ，当点 落在 的延长线上时，求 的长；

（ 2 ）如图 2 ，当点 落在 的延长线上时，连接 ，交 于点 M ，求 的长；

（ 3 ）如图 3 ，连接 ，直线 交 于点 D ，点 E 为 的中点，连接 ．在旋转过程中， 是否存在最小值？若存在，求出 的最小值；若不存在，请说明理由．

越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为 1.6 米，在测点 A 处安置测倾器，测得点 M 的仰角 ，在与点 A 相距 3.5 米的测点 D 处安置测倾器，测得点 M 的仰角 （点 A ， D 与 N 在一条直线上），求电池板离地面的高度 的长．（结果精确到 1 米；参考数据： ）

分式方程 的解为（ ）

A ． B ． C ． D ．

2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分，天问一号探测器成功着陆距离地球逾 3 亿千米的神秘火星，在火星上首次留下中国人的印迹，这是我国航天事业发展的又一具有里程碑意义的进展．将数据 3 亿用科学记数法表示为（    ）

A ． B ． C ． D ．

如图所示的几何体是由 6 个大小相同的小立方块搭成，它的俯视图是（    ）

A ． B ． C ． D ．

菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，常被视为数学界的诺贝尔奖，每四年颁发一次，最近一届获奖者获奖时的年龄（单位：岁）分别为： 30 ， 40 ， 34 ， 36 ，则这组数据的中位数是（    ）

A ． 34 B ． 35 C ． 36 D ． 40

如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象相交于点 ，与 x 轴相交于点 B ．

（ 1 ）求反比例函数的表达式；

（ 2 ）过点 A 的直线交反比例函数的图象于另一点 C ，交 x 轴正半轴于点 D ，当 是以 为底的等腰三角形时，求直线 的函数表达式及点 C 的坐标．

下列计算正确的是（　　）

A ． B ．

C ． D ．

为改善城市人居环境，《成都市生活垃圾管理条例》（以下简称《条例》）于 2021 年 3 月 1 日起正式施行．某区域原来每天需要处理生活垃圾 920 吨，刚好被 12 个 A 型和 10 个 B 型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个 A 型点位比一个 B 型点位每天多处理 7 吨生活垃圾．

（ 1 ）求每个 B 型点位每天处理生活垃圾的吨数；

（ 2 ）由于《条例》的施行，垃圾分类要求提高，现在每个点位每天将少处理 8 吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少 10 吨．若该区域计划增设 A 型、 B 型点位共 5 个，试问至少需要增设几个 A 型点位才能当日处理完所有生活垃圾？

的倒数是（ ）

A ． B ． C ． D ． 7

为有效推进儿童青少年近视防控工作，教育部办公厅等十五部门联合制定《儿童青少年近视防控光明行动工作方案（ 2021 － 025 年）》，共提出八项主要任务，其中第三项任务为强化户外活动和体育锻炼．我市各校积极落实方案精神，某学校决定开设以下四种球类的户外体育选修课程篮球、足球、排球、乒乓球．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了 “ 你选择哪种球类课程 ” 的调查（要求必须选择且只能选择其中一门课程），并根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．

根据图表信息，解答下列问题：

（ 1 ）分别求出表中 m ， n 的值；

（ 2 ）求扇形统计图中 “ 足球 ” 对应的扇形圆心角的度数；

（ 3 ）该校共有 2000 名学生，请你估计其中选择 “ 乒乓球 ” 课程的学生人数．

因式分解： __________ ．

如图，在平面直角坐标系 中，抛物线 与 x 轴相交于 O ， A 两点，顶点 P 的坐标为 ．点 B 为抛物线上一动点，连接 ，过点 B 的直线与抛物线交于另一点 C ．

（ 1 ）求抛物线的函数表达式；

（ 2 ）若点 B 的横坐标与纵坐标相等， ，且点 C 位于 x 轴上方，求点 C 的坐标；

（ 3 ）若点 B 的横坐标为 t ， ，请用含 t 的代数式表示点 C 的横坐标，并求出当 时，点 C 的横坐标的取值范围．

在平面直角坐标系 中，点 关于 x 轴对称的点的坐标是（ ）

A ． B ． C ． D ．

《九章算术》卷八方程第十题原文为： “ 今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？ ” 题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱 50 ；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱 50 ，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为 x ， y ，则可列方程组为（ ）

A ． B ． C ． D ．

（ 1 ）计算： ．

（ 2 ）解不等式组：