如图,在平面直角坐标系中,二次函数 的图像与 x 轴交于 A 、 C 两点,与 x 轴交于点 ,若 P 是 x 轴上一动点,点 D 的坐标为 ,连接 PD ,则 的最小值是( )
A . 4 B . C . D .
A
【分析】 过点 P 作 PJ ⊥ BC 于 J ,过点 D 作 DH ⊥ BC 于 H ,根据 ,求出 的最小值即可解决问题.
【详解】 解:连接 BC ,过点 P 作 PJ ⊥ BC 于 J ,过点 D 作 DH ⊥ BC 于 H .
∵ 二次函数 的图像 与 x 轴交于点 ,
∴ b = 2 ,
∴ 二次函数的解析式为 ,令 y = 0 , - x 2 + 2 x + 3 = 0 ,
解得 x =﹣ 1 或 3 ,
∴ A (﹣ 1 , 0 ),
令 x = 0 , y =3 ,
∴ B ( 0 , 3 ),
∴ OB = OC = 3 ,
∵∠ BOC = 90° ,
∴∠ OBC = ∠ OCB = 45° ,
∵ D ( 0 , - 1 ),
∴ OD = 1 , BD = 4 ,
∵ DH ⊥ BC ,
∴∠ DHB = 90° ,
设 ,则 ,
∵ ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ PJ ⊥ CB ,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
∵ ,
∴ ,
∴ DP + PJ 的最小值为 ,
∴ 的最小值为 4 .
故选: A .
【点睛】本题考查了二次函数的相关性质,以及等腰直角三角形的判定和性质,垂线段最短等知识,得到 ∠ OBC = ∠ OCB = 45° , 是解题的关键 .
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