在正方形ABCD中,E是CD边上一点(CE>DE),AE,BD交于点F.
(1)如图1,过点F作GH⊥AE,分别交边AD,BC于点G,H.
求证:∠EAB=∠GHC;
(2)AE的垂直平分线分别与AD,AE,BD交于点P,M,N,连接CN.
①依题意补全图形;
图1 备用图
②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系,并证明.
(1)详见解析;(2)①补全图形,如图所示.②.详见解析
【分析】
(1)根据正方形的性质,有AD∥BC,∠BAD=90°,得到∠AGH=∠GHC,再根据GH⊥AE,得到∠EAB=∠AGH,即可证明.
(2)①根据垂直平分线的作法步骤进行即可.
②连接AN,连接EN并延长,交AB边于点Q,根据正方形的性质,得到NA=NC,∠1=∠2,再根据垂直平分线的性质,得到NA=NE,进而得到NC=NE,∠3=∠4,在正方形ABCD中,BA∥CE,∠BCD=90°,得到∠AQE=∠4,∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°,∠ANE=∠ANQ=90°,最后在Rt△ANE中,即可求解.
【详解】
(1)证明:在正方形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=90°,
∴∠AGH=∠GHC.
∵GH⊥AE,
∴∠EAB=∠AGH.
∴∠EAB=∠GHC.
(2)①补全图形,如图所示.
②.
证明:连接AN,连接EN并延长,交AB边于点Q.
∵四边形ABCD是正方形,
∴点A,点C关于BD对称.
∴NA=NC,∠1=∠2.
∵PN垂直平分AE,
∴NA=NE.
∴NC=NE.
∴∠3=∠4.
在正方形ABCD中,BA∥CE,∠BCD=90°,
∴∠AQE=∠4.
∴∠1+∠AQE=∠2+∠3=90°.
∴∠ANE=∠ANQ=90°.
在Rt△ANE中,
∴.
【点睛】
此题主要考查正方形的性质、垂直平分线的性质和勾股定理,熟练掌握性质就解题关键.