如图1,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣4,0),B(1,0)两点,过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C,D.
(1)求直线和抛物线的表达式;
(2)动点P从点O出发,在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,△PDC为直角三角形?请直接写出所有满足条件的t的值;
(3)如图2,将直线BD沿y轴向下平移4个单位后,与x轴,y轴分别交于E,F两点,在抛物线的对称轴上是否存在点M,在直线EF上是否存在点N,使DM+MN的值最小?若存在,求出其最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)把A(﹣4,0),B(1,0)代入y=ax2+2x+c,得
,
解得:,
∴抛物线解析式为:y=,
∵过点B的直线y=kx+,
∴代入(1,0),得:k=﹣,
∴BD解析式为y=﹣;
(2)由得交点坐标为D(﹣5,4),
如图1,过D作DE⊥x轴于点E,作DF⊥y轴于点F,
当P1D⊥P1C时,△P1DC为直角三角形,
则△DEP1∽△P1OC,
∴=,即=,
解得t=,
当P2D⊥DC于点D时,△P2DC为直角三角形
由△P2DB∽△DEB得=,
即=,
解得:t=;
当P3C⊥DC时,△DFC∽△COP3,
∴=,即=,
解得:t=,
∴t的值为、、.
(3)由已知直线EF解析式为:y=﹣x﹣,
在抛物线上取点D的对称点D′,过点D′作D′N⊥EF于点N,交抛物线对称轴于点M
过点N作NH⊥DD′于点H,此时,DM+MN=D′N最小.
则△EOF∽△NHD′
设点N坐标为(a,﹣),
∴=,即=,
解得:a=﹣2,
则N点坐标为(﹣2,﹣2),
求得直线ND′的解析式为y=x+1,
当x=﹣时,y=﹣,
∴M点坐标为(﹣,﹣),
此时,DM+MN的值最小为==2.
【点评】本题是二次函数和几何问题综合题,应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想.解题时注意数形结合.
【问题解决】
一节数学课上,老师提出了这样一个问题:如图1,点P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,PC=3.你能求出∠APB的度数吗?
小明通过观察、分析、思考,形成了如下思路:
思路一:将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,求出∠APB的度数;
思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°,得到△CP'B,连接PP′,求出∠APB的度数.
请参考小明的思路,任选一种写出完整的解答过程.
【类比探究】
如图2,若点P是正方形ABCD外一点,PA=3,PB=1,PC=,求∠APB的度数.
解:(1)思路一、如图1,
将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,
∴△ABP'≌△CBP,
∴∠PBP'=90°,BP'=BP=2,AP'=CP=3,
在Rt△PBP'中,BP=BP'=2,
∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得,PP'=BP=2,
∵AP=1,
∴AP2+PP'2=1+8=9,
∵AP'2=32=9,
∴AP2+PP'2=AP'2,
∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°,
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°;
思路二、同思路一的方法;
(2)如图2,
将△BPC绕点B逆时针旋转90°,得到△BP′A,连接PP′,
∴△ABP'≌△CBP,
∴∠PBP'=90°,BP'=BP=1,AP'=CP=,
在Rt△PBP'中,BP=BP'=1,
∴∠BPP'=45°,根据勾股定理得,PP'=BP=,
∵AP=3,
∴AP2+PP'2=9+2=11,
∵AP'2=()2=11,
∴AP2+PP'2=AP'2,
∴△APP'是直角三角形,且∠APP'=90°,
∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°.
【点评】此题是四边形综合题,主要考查了正方形的性质,旋转的性质,直角三角形的性质和判定,勾股定理,正确作出辅助线是解本题的关键.
如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,BC上两点,点A,C,E在⊙D上,点B,D在⊙E上.F为上一点,连接FE并延长交AC的延长线于点N,交AB于点M.
(1)若∠EBD为α,请将∠CAD用含α的代数式表示;
(2)若EM=MB,请说明当∠CAD为多少度时,直线EF为⊙D的切线;
(3)在(2)的条件下,若AD=,求的值.
解:(1)连接CD、DE,⊙E中,∵ED=EB,
∴∠EDB=∠EBD=α,
∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α,
⊙D中,∵DC=DE=AD,
∴∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,
△ACB中,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,
∴∠CAD==;
(2)设∠MBE=x,
∵EM=MB,
∴∠EMB=∠MBE=x,
当EF为⊙D的切线时,∠DEF=90°,
∴∠CED+∠MEB=90°,
∴∠CED=∠DCE=90°﹣x,
△ACB中,同理得,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,
∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴,
∴∠CAD=45°;
(3)由(2)得:∠CAD=45°;
由(1)得:∠CAD=;
∴∠MBE=30°,
∴∠CED=2∠MBE=60°,
∵CD=DE,
∴△CDE是等边三角形,
∴CD=CE=DE=EF=AD=,
Rt△DEM中,∠EDM=30°,DE=,
∴EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,
△ACB中,∠NCB=45°+30°=75°,
△CNE中,∠CEN=∠BEF=30°,
∴∠CNE=75°,
∴∠CNE=∠NCB=75°,
∴EN=CE=,
∴===2+.
【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质和判定等知识,解题的关键是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系,学会构建方程解决问题,属于中考常考题型.
为提高市民的环保意识,倡导“节能减排,绿色出行”,某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A,B两种不同款型,其中A型车单价400元,B型车单价320元.
(1)今年年初,“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动.投放A,B两种款型的单车共100辆,总价值36800元.试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆?
(2)试点投放活动得到了广大市民的认可,该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开.按照试点投放中A,B两车型的数量比进行投放,且投资总价值不低于184万元.请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆?
解:(1)设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆,
根据题意,得:,
解得:,
答:本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆;
(2)由(1)知A、B型车辆的数量比为3:2,
设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆,
根据题意,得:3a×400+2a×320≥1840000,
解得:a≥1000,
即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆,
则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×=3辆、至少享有B型车2000×=2辆.
汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图,学校附近有一条笔直的公路l,其间设有区间测速,所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动:在l上确定A,B两点,并在AB路段进行区间测速.在l外取一点P,作PC⊥l,垂足为点C.测得PC=30米,∠APC=71°,∠BPC=35°.上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒,请你用所学的数学知识说明该车是否超速.(参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,sin71°≈0.95,cos71°≈0.33,tan71°≈2.90)
解:在Rt△APC中,AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87,
在Rt△BPC中,BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21,
则AB=AC﹣BC=87﹣21=66,
∴该汽车的实际速度为=11m/s,
又∵40km/h≈11.1m/s,
∴该车没有超速.
【点评】此题考查了解直角三角形的应用,涉及的知识有:锐角三角函数定义,熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键.
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