如图1,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A(﹣4,0),B(1,0)两点,过点B的直线y=kx+分别与y轴及抛物线交于点C,D.
(1)求直线和抛物线的表达式;
(2)动点P从点O出发,在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动,设运动时间为t秒,当t为何值时,△PDC为直角三角形?请直接写出所有满足条件的t的值;
(3)如图2,将直线BD沿y轴向下平移4个单位后,与x轴,y轴分别交于E,F两点,在抛物线的对称轴上是否存在点M,在直线EF上是否存在点N,使DM+MN的值最小?若存在,求出其最小值及点M,N的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)把A(﹣4,0),B(1,0)代入y=ax2+2x+c,得
,
解得:,
∴抛物线解析式为:y=,
∵过点B的直线y=kx+,
∴代入(1,0),得:k=﹣,
∴BD解析式为y=﹣;
(2)由得交点坐标为D(﹣5,4),
如图1,过D作DE⊥x轴于点E,作DF⊥y轴于点F,
当P1D⊥P1C时,△P1DC为直角三角形,
则△DEP1∽△P1OC,
∴=,即=,
解得t=,
当P2D⊥DC于点D时,△P2DC为直角三角形
由△P2DB∽△DEB得=,
即=,
解得:t=;
当P3C⊥DC时,△DFC∽△COP3,
∴=,即=,
解得:t=,
∴t的值为、、.
(3)由已知直线EF解析式为:y=﹣x﹣,
在抛物线上取点D的对称点D′,过点D′作D′N⊥EF于点N,交抛物线对称轴于点M
过点N作NH⊥DD′于点H,此时,DM+MN=D′N最小.
则△EOF∽△NHD′
设点N坐标为(a,﹣),
∴=,即=,
解得:a=﹣2,
则N点坐标为(﹣2,﹣2),
求得直线ND′的解析式为y=x+1,
当x=﹣时,y=﹣,
∴M点坐标为(﹣,﹣),
此时,DM+MN的值最小为==2.
【点评】本题是二次函数和几何问题综合题,应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想.解题时注意数形结合.