【问题解决】

一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？

小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：

思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；

思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．

【类比探究】

如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=，求∠APB的度数．

答案

解：（1）思路一、如图1，

将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，

∴△ABP'≌△CBP，

∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，

在Rt△PBP'中，BP=BP'=2，

∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=BP=2，

∵AP=1，

∴AP²+PP'²=1+8=9，

∵AP'²=3²=9，

∴AP²+PP'²=AP'²，

∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，

∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；

思路二、同思路一的方法；

（2）如图2，

将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，

∴△ABP'≌△CBP，

∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=，

在Rt△PBP'中，BP=BP'=1，

∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=BP=，

∵AP=3，

∴AP²+PP'²=9+2=11，

∵AP'²=（）²=11，

∴AP²+PP'²=AP'²，

∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，

∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．