如图,已知D,E分别为△ABC的边AB,BC上两点,点A,C,E在⊙D上,点B,D在⊙E上.F为上一点,连接FE并延长交AC的延长线于点N,交AB于点M.
(1)若∠EBD为α,请将∠CAD用含α的代数式表示;
(2)若EM=MB,请说明当∠CAD为多少度时,直线EF为⊙D的切线;
(3)在(2)的条件下,若AD=,求的值.
解:(1)连接CD、DE,⊙E中,∵ED=EB,
∴∠EDB=∠EBD=α,
∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α,
⊙D中,∵DC=DE=AD,
∴∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,
△ACB中,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,
∴∠CAD==;
(2)设∠MBE=x,
∵EM=MB,
∴∠EMB=∠MBE=x,
当EF为⊙D的切线时,∠DEF=90°,
∴∠CED+∠MEB=90°,
∴∠CED=∠DCE=90°﹣x,
△ACB中,同理得,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°,
∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴,
∴∠CAD=45°;
(3)由(2)得:∠CAD=45°;
由(1)得:∠CAD=;
∴∠MBE=30°,
∴∠CED=2∠MBE=60°,
∵CD=DE,
∴△CDE是等边三角形,
∴CD=CE=DE=EF=AD=,
Rt△DEM中,∠EDM=30°,DE=,
∴EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,
△ACB中,∠NCB=45°+30°=75°,
△CNE中,∠CEN=∠BEF=30°,
∴∠CNE=75°,
∴∠CNE=∠NCB=75°,
∴EN=CE=,
∴===2+.
【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质和判定等知识,解题的关键是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系,学会构建方程解决问题,属于中考常考题型.