2018山东人教版初中数学中考真题132009
初中
整体难度：中等
2018-07-24
题号
一
二
三
四
五
评分
一、综合题 (共2题)
添加该题型下试题
1.
如图1，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，过点B的直线y=kx+
分别与y轴及抛物线交于点C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；
（3）如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM+MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．
难度：
知识点：各地中考
使用次数：121
【答案】
解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得
，
解得：
，
∴抛物线解析式为：y=
，
∵过点B的直线y=kx+
，
∴代入（1，0），得：k=﹣
，
∴BD解析式为y=﹣
；
（2）由
得交点坐标为D（﹣5，4），
如图1，过D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，
当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，
则△DEP1∽△P1OC，
∴
=
，即
=
，
解得t=
，
当P2D⊥DC于点D时，△P2DC为直角三角形
由△P2DB∽△DEB得
=
，
即
=
，
解得：t=
；
当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，
∴
=
，即
=
，
解得：t=
，
∴t的值为
、
、
．
（3）由已知直线EF解析式为：y=﹣
x﹣
，
在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M
过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM+MN=D′N最小．
则△EOF∽△NHD′
设点N坐标为（a，﹣
），
∴
=
，即
=
，
解得：a=﹣2，
则N点坐标为（﹣2，﹣2），
求得直线ND′的解析式为y=
x+1，
当x=﹣
时，y=﹣
，
∴M点坐标为（﹣，﹣），
此时，DM+MN的值最小为
=
=2
．
【点评】本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解题时注意数形结合．
2.
【问题解决】
一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3．你能求出∠APB的度数吗？
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：
思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，求出∠APB的度数；
思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP′，求出∠APB的度数．
请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程．
【类比探究】
如图2，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=
，求∠APB的度数．
难度：
知识点：各地中考
使用次数：51
【答案】
解：（1）思路一、如图1，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，
在Rt△PBP'中，BP=BP'=2，
∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=
BP=2，
∵AP=1，
∴AP2+PP'2=1+8=9，
∵AP'2=32=9，
∴AP2+PP'2=AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，
∴∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135°；
思路二、同思路一的方法；
（2）如图2，
将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP′A，连接PP′，
∴△ABP'≌△CBP，
∴∠PBP'=90°，BP'=BP=1，AP'=CP=，
在Rt△PBP'中，BP=BP'=1，
∴∠BPP'=45°，根据勾股定理得，PP'=
BP=，
∵AP=3，
∴AP2+PP'2=9+2=11，
∵AP'2=（
）2=11，
∴AP2+PP'2=AP'2，
∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°，
∴∠APB=∠APP'﹣∠BPP'=90°﹣45°=45°．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质和判定，勾股定理，正确作出辅助线是解本题的关键．
二、解答题 (共4题)
添加该题型下试题
1.
如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D在⊙E上．F为
上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．
（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；
（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；
（3）在（2）的条件下，若AD=
，求
的值．
难度：
知识点：各地中考
使用次数：160
【答案】
解：（1）连接CD、DE，⊙E中，∵ED=EB，
∴∠EDB=∠EBD=α，
∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，
⊙D中，∵DC=DE=AD，
∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，
△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，
∴∠CAD=
=
；
（2）设∠MBE=x，
∵EM=MB，
∴∠EMB=∠MBE=x，
当EF为⊙D的切线时，∠DEF=90°，
∴∠CED+∠MEB=90°，
∴∠CED=∠DCE=90°﹣x，
△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，
∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴，
∴∠CAD=45°；
（3）由（2）得：∠CAD=45°；
由（1）得：∠CAD=
；
∴∠MBE=30°，
∴∠CED=2∠MBE=60°，
∵CD=DE，
∴△CDE是等边三角形，
∴CD=CE=DE=EF=AD=
，
Rt△DEM中，∠EDM=30°，DE=，
∴EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，
△ACB中，∠NCB=45°+30°=75°，
△CNE中，∠CEN=∠BEF=30°，
∴∠CNE=75°，
∴∠CNE=∠NCB=75°，
∴EN=CE=
，
∴
=
=
=2+．
【点评】本题考查三角形内角和定理、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会利用三角形角之间的关系确定边的关系，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
2.
为提高市民的环保意识，倡导“节能减排，绿色出行”，某市计划在城区投放一批“共享单车”这批单车分为A，B两种不同款型，其中A型车单价400元，B型车单价320元．
（1）今年年初，“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动．投放A，B两种款型的单车共100辆，总价值36800元．试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆？
（2）试点投放活动得到了广大市民的认可，该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开．按照试点投放中A，B两车型的数量比进行投放，且投资总价值不低于184万元．请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆？
难度：
知识点：各地中考
使用次数：142
【答案】
解：（1）设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆，
根据题意，得：
，
解得：
，
答：本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆；
（2）由（1）知A、B型车辆的数量比为3：2，
设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆，
根据题意，得：3a×400+2a×320≥1840000，
解得：a≥1000，
即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆，
则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000×
=3辆、至少享有B型车2000×
=2辆．
3.
汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）
难度：
知识点：各地中考
使用次数：190
【答案】
解：在Rt△APC中，AC=PCtan∠APC=30tan71°≈30×2.90=87，
在Rt△BPC中，BC=PCtan∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21，
则AB=AC﹣BC=87﹣21=66，
∴该汽车的实际速度为
=11m/s，
又∵40km/h≈11.1m/s，
∴该车没有超速．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，涉及的知识有：锐角三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．
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试题总数：
25
总体难度：
中等
难度统计
难度系数
数量
占比
偏难
1
4.0%
中等
16
64.0%
容易
8
32.0%
题型统计
大题类型
数量
占比
综合题
2
8.0%
解答题
4
16.0%
计算题
1
4.0%
填空题
6
24.0%
选择题
12
48.0%
知识点统计
知识点
数量
占比
各地中考
25
100.0%
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