如图，函数 与函数 的图象交于 A ， B 两点，点 P 在以 为圆心， 1 为半径的圆 C 上， Q 是 AP 的中点，则 OQ 长的最大值为（ ）

A ． B ． C ． D ．

答案

B

【解析】

【分析】

联立正比例函数 y =2 x 与反比例函数 ，求出点 A ， B 的坐标，连接 BP ，连接 BC 并延长，交圆 C 于点 D ．根据已知条件可得，所求 OQ 长的最大值，即求 PB 长的最大值，即当点 P 运动到点 D 时， BP 取得最大值，为 BD 的长．过点 B 作 BE ⊥ x 轴于点 E ，由勾股定理可得 BC = 的长，进而可得 BD = BC + CD 的长，即可得出答案．

【详解】

解：联立正比例函数 y =2 x 与反比例函数 ，

得 ，解得 ， ，

∴ 点 A 的坐标为（ 1 ， 1 ），点 B 的坐标为（ -1 ， −1 ），

连接 BP ，连接 BC 并延长，交 ⊙ C 于点 D ．

由反比例函数图象的对称性可知，点 O 为 AB 的中点，

∵ 点 Q 为 AP 的中点，

∴ OQ = PB ，

∴ 所求 OQ 长的最大值，即求 PB 长的最大值，

则当点 P 运动到点 D 时， BP 取得最大值，即为 BD 的长．

过点 B 作 BE ⊥ x 轴于点 E ，

则 OE =1 ， BE =2 ，

∵ C 点坐标为（ -2 ， 0 ），

∴ OC =2 ， CE = CO - OE =1 ，

由勾股定理得 BC = ，

∴ BD = BC + CD = ，

∴ OQ = ．

故选： B ．

【点睛】

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、圆的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键．