C

【解析】

【分析】

根据点 是反比例函数 图象上一点，求出坐标，再根据把线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 ，点 B 落在点 C 处，求出 ，将 代入双曲线表达式即可得到 ．

【详解】

解： 点 是反比例函数 图象上一点，

，即 ，

过点 A 作 轴于点 B ，把线段 AB 绕点 A 顺时针旋转 ，点 B 落在点 C 处，

则 ，

双曲线 经过点 C ，

，

故选： C ．

【点睛】

本题考查反比例函数的图像与性质，涉及到求函数值、旋转点的坐标求解、待定系数法确定函数关系式等知识点，熟练掌握反比例函数的图像与性质，理解旋转不变性是解决问题的关键．

B

【解析】

【分析】

联立正比例函数 y =2 x 与反比例函数 ，求出点 A ， B 的坐标，连接 BP ，连接 BC 并延长，交圆 C 于点 D ．根据已知条件可得，所求 OQ 长的最大值，即求 PB 长的最大值，即当点 P 运动到点 D 时， BP 取得最大值，为 BD 的长．过点 B 作 BE ⊥ x 轴于点 E ，由勾股定理可得 BC = 的长，进而可得 BD = BC + CD 的长，即可得出答案．

【详解】

解：联立正比例函数 y =2 x 与反比例函数 ，

得 ，解得 ， ，

∴ 点 A 的坐标为（ 1 ， 1 ），点 B 的坐标为（ -1 ， −1 ），

连接 BP ，连接 BC 并延长，交 ⊙ C 于点 D ．

由反比例函数图象的对称性可知，点 O 为 AB 的中点，

∵ 点 Q 为 AP 的中点，

∴ OQ = PB ，

∴ 所求 OQ 长的最大值，即求 PB 长的最大值，

则当点 P 运动到点 D 时， BP 取得最大值，即为 BD 的长．

过点 B 作 BE ⊥ x 轴于点 E ，

则 OE =1 ， BE =2 ，

∵ C 点坐标为（ -2 ， 0 ），

∴ OC =2 ， CE = CO - OE =1 ，

由勾股定理得 BC = ，

∴ BD = BC + CD = ，

∴ OQ = ．

故选： B ．

【点睛】

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、中位线的性质、圆的性质、勾股定理等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解答本题的关键．

B

【解析】

【分析】

由 OD = ，则点 A 、 B 的纵坐标为 ，得到 A （ ， ）， B （ ， ），求得 AB = AO = ， AD = ，根据勾股定理即可得到结论．

【详解】

解： ∵ 四边形 OABC 是菱形，

∴ AB ∥ OC ， AB = AO ，

∵ OD = ，

∴ 点 A 、 B 的纵坐标为 ，

∴ A （ ， ）， B （ ， ），

∴ AB = ， AD = ，

∴ AO = ，

在 Rt △ AOD 中，由勾股定理，得

，

∴ ，

解得： ；

故选： B ．

【点睛】

本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，菱形的性质，勾股定理，正确的识别图形是解题的关键．

D

【解析】

【分析】

结合函数图像的上下位置关系结合交点的坐标，即可得出不等式的解集．

【详解】

解：观察函数图像，发现：

当 x ＜ -3 或 0 ＜ x ＜ 1 时，反比例函数图像在一次函数图像的上方，

∴ 不等式 > x +2 的解集为 x ＜ -3 或 0 ＜ x ＜ 1 ．

故选： D ．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图像的交点坐标满足两函数解析式．

B

【解析】

【分析】

分别求出 M 、 A 、 B 的坐标即可求出 △ AMB 的面积．

【详解】

∵ 在双曲线 有点 M ，它的横坐标是 1

∴ M 点坐标为（ 1,3 ）

∵ 过 M 分别作坐标轴的平行线交双曲线 （ k ＜ 0 ）于点 A ， B ，

∴ A 点坐标为 ， B 点坐标为

∴ ，

∴

故选： B ．

【点睛】

本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数解析式求出 A 、 B 点的坐标是解题的关键．