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八下 第十八章 平行四边形
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特殊的平行四边形
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难度:
使用次数:142
更新时间:2021-09-11
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1.

如图,在 ABCD 中, AC BD 交于点 O ,且 AO BO

1 )求证:四边形 ABCD 是矩形;

2 ADB 的角平分线 DE AB 于点 E ,当 AD 3 tan∠ CAB 时,求 AE 的长.

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题型:解答题
知识点:特殊的平行四边形
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【答案】

1 )见解析;( 2 .

【分析】

(1) 由平行四边形性质和已知条件得出 AC BD ,即可得出结论;

(2) 过点 E EG BD 于点 G ,由角平分线的性质得出 EG EA .由三角函数定义得出 AB 4 sin∠ CAB sin∠ ABD ,设 AE EG x ,则 BE 4 x ,在 Rt△ BEG 中,由三角函数定义得出 ,即可得出答案.

【详解】

(1) 证明: 四边形 ABCD 是平行四边形,

AC 2 AO BD 2 BO

AO BO

AC BD

平行四边形 ABCD 为矩形.

(2) 过点 E EG BD 于点 G ,如图所示:

四边形 ABCD 是矩形,

∴∠ DAB 90°

EA AD

DE ADB 的角平分线,

EG EA

AO BO

∴∠ CAB ABD

AD 3 tan∠ CAB

∴tan∠ CAB tan∠ ABD

AB 4

BD sin∠ CAB sin∠ ABD

AE EG x ,则 BE 4 x

BEG 中, BGE 90°

∴sin∠ ABD

解得: x

AE

故答案为: .

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识;熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键.

=
考点梳理:
根据可圈可点权威老师分析,试题“ ”主要考查你对 矩形,矩形的性质,矩形的判定 等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下:
◎ 矩形,矩形的性质,矩形的判定的定义
矩形:
是一种平面图形,矩形的四个角都是直角,同时矩形的对角线相等,而且矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等。
◎ 矩形,矩形的性质,矩形的判定的知识扩展
1、矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质:(1)具有平行四边形的一切性质
(2)矩形的四个角都是直角
(3)矩形的对角线相等
(4)矩形是轴对称图形,也是中心对称图形。
3、矩形的判定:(1)定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形
(2)定理1:有三个角是直角的四边形是矩形
(3)定理2:对角线相等的平行四边形是矩形
4、矩形的面积:S矩形=长×宽=ab。
◎ 矩形,矩形的性质,矩形的判定的特性

矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形

◎ 矩形,矩形的性质,矩形的判定的知识点拨
矩形的判定
①定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形
②定理1:有三个角是直角的四边形是矩形
③定理2:对角线相等的平行四边形是矩形
④对角线互相平分且相等的四边形是矩形
矩形的面积:S矩形=长×宽=ab。
◎ 矩形,矩形的性质,矩形的判定的知识拓展
黄金矩形:
宽与长的比是(√5-1)/2(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形。
黄金矩形给我们一协调、匀称的美感。世界各国许多著名的建筑,为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计。如希腊的巴特农神庙等。
◎ 矩形,矩形的性质,矩形的判定的教学目标
1、掌握矩形的性质,判定,并能够运用综合法和严密的数学语言进行推理论证。
2、经历探索、猜测、证明的过程,发展学生的推理论证能力。
3、通过独立完成证明的过程,体会数学是严谨的科学,增强学生对待科学的严谨治学态度,从而养成良好的习惯。
◎ 矩形,矩形的性质,矩形的判定的考试要求
能力要求:掌握
课时要求:130
考试频率:常考
分值比重:7
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题型:选择题
知识点:特殊的平行四边形
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