如图,在 ▱ ABCD 中, AC , BD 交于点 O ,且 AO = BO .
( 1 )求证:四边形 ABCD 是矩形;
( 2 ) ∠ ADB 的角平分线 DE 交 AB 于点 E ,当 AD = 3 , tan∠ CAB = 时,求 AE 的长.
( 1 )见解析;( 2 ) .
【分析】
(1) 由平行四边形性质和已知条件得出 AC = BD ,即可得出结论;
(2) 过点 E 作 EG ⊥ BD 于点 G ,由角平分线的性质得出 EG = EA .由三角函数定义得出 AB = 4 , sin∠ CAB = sin∠ ABD = ,设 AE = EG = x ,则 BE = 4 ﹣ x ,在 Rt△ BEG 中,由三角函数定义得出 ,即可得出答案.
【详解】
(1) 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AC = 2 AO , BD = 2 BO .
∵ AO = BO ,
∴ AC = BD .
∴ 平行四边形 ABCD 为矩形.
(2) 过点 E 作 EG ⊥ BD 于点 G ,如图所示:
∵ 四边形 ABCD 是矩形,
∴∠ DAB = 90° ,
∴ EA ⊥ AD ,
∵ DE 为 ∠ ADB 的角平分线,
∴ EG = EA .
∵ AO = BO ,
∴∠ CAB = ∠ ABD .
∵ AD = 3 , tan∠ CAB = ,
∴tan∠ CAB = tan∠ ABD = = .
∴ AB = 4 .
∴ BD = , sin∠ CAB = sin∠ ABD = .
设 AE = EG = x ,则 BE = 4 ﹣ x ,
在 △ BEG 中, ∠ BGE = 90° ,
∴sin∠ ABD = .
解得: x = ,
∴ AE = .
故答案为: .
【点睛】
本题考查了矩形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、三角函数定义等知识;熟练掌握矩形的判定与性质和三角函数定义是解题的关键.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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