如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点O作OD⊥AB，交BC的延长线于D，交AC于点E，F是DE的中点，连接CF．

（1）求证：CF是⊙O的切线．

（2）若∠A＝22.5°，求证：AC＝DC．

答案

（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【分析】

（1）先根据圆周角定理得出∠ACB＝∠ACD＝90°，再根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出CF＝EF＝DF，再根据对顶角相等和等腰三角形两底角相等得出∠AEO＝∠FCE，再由∠OCA＋∠FCE＝∠OAC＋∠AEO＝90°，即可知CF是⊙O的切线；

（2）连接AD，由OD⊥AB且AO=BO可知OD是垂直平分线，即可得到DO是角平分线，∠BAC+∠B=∠ODB+∠B=90°，可得∠ODB=∠BAC=22.5°，可得∠ADB=45°，求得△ACD是等腰直角三角形，所以AC=DC.

【详解】

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝∠ACD＝90°，

∵点F是ED的中点，

∴CF＝EF＝DF，

∴∠AEO＝∠FEC＝∠FCE，

∵OA＝OC，

∴∠OCA＝∠OAC，

∵OD⊥AB，

∴∠OAC＋∠AEO＝90°，

∴∠OCA＋∠FCE＝90°，即OC⊥FC，

∴CF与⊙O相切；

（2）证明：连接AD

∵OD⊥AB，AC⊥BD，

∴∠AOE＝∠ACD＝90°，

∵∠AEO＝∠DEC，

∴∠OAE＝∠CDE＝22.5°，

∵AO＝BO，

∴AD＝BD，

∴∠ADO＝∠BDO＝22.5°，

∴∠ADB＝45°，

∴∠CAD＝∠ADC＝45°，

∴AC＝CD．

【点睛】

本题主要考查圆周角定理、直角三角形斜边中线定理、对顶角和等腰三角形性质、切线的判定、垂直平分线的判定和性质.第（2）部分连接AD，通过角度计算证明△ACD是直角等腰三角形是关键.