如图,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2,其中正确结论有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
D
【解析】
分析:由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到∠BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.
详解:①∵四边形ABCD和EFGC都为正方形,
∴CB=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE,即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中,CB=CD,∠BCE=∠DCG,CE=CG,
∴△BCE≌△DCG,
∴BE=DG,
故结论①正确.
②如图所示,设BE交DC于点M,交DG于点O.
由①可知,△BCE≌△DCG,
∴∠CBE=∠CDG,即∠CBM=∠MDO.
又∵∠BMC=∠DMO,∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC,∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO,
∴∠DOM=∠MCB=90°,
∴BE⊥DG.
故②结论正确.
③如图所示,连接BD、EG,
由②知,BE⊥DG,
则在Rt△ODE中,DE2=OD2+OE2,
在Rt△BOG中,BG2=OG2+OB2,
在Rt△OBD中,BD2=OD2+OB2,
在Rt△OEG中,EG2=OE2+OG2,
∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.
在Rt△BCD中,BD2=BC2+CD2=2a2,
在Rt△CEG中,EG2=CG2+CE2=2b2,
∴BG2+DE2=2a2+2b2.
故③结论正确.
故选:D.
点睛:本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.
全等三角形的性质:
1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
5.全等三角形的对应边上的中线相等。
6.全等三角形面积相等。
7.全等三角形周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。
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