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初中数学2021年初专题周练——勾股定理训练题(一)【含详解】
年级:初中
难度:偏难
更新时间:2021-01-13
下载:192次
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一、选择题(共40题)
1.

已知直角三角形两边的长为34,则此三角形的周长为(  )

A12                         B7+                   C127+          D以上都不对

【答案】

C

【详解】

Rt△ABC的第三边长为x4为直角三角形的直角边时,x为斜边,由勾股定理得,x==5,此时这个三角形的周长=3+4+5=124为直角三角形的斜边时,x为直角边,由勾股定理得,x=,此时这个三角形的周长=3+4+=7+.故选C

组卷:267次
难度:中等
知识点:勾股定理
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2.

如图,将长方形纸片ABCD折叠,使边DC落在对角线AC上,折痕为CE,且D点落在对角线D′处.若AB=3AD=4,则ED的长为

A                         B3                           C1                           D

【答案】

A

【分析】

首先利用勾股定理计算出AC的长,再根据折叠可得DEC≌△D′EC,设ED=x,则D′E=xAD′=ACCD′=2AE=4x,再根据勾股定理可得方程22+x2=4x2,再解方程即可

【详解】

AB=3AD=4DC=3

根据勾股定理得AC=5

根据折叠可得:DEC≌△D′EC

D′C=DC=3DE=D′E

ED=x,则D′E=xAD′=ACCD′=2AE=4x

RtAED′中:(AD′2+ED′2=AE2,即22+x2=4x2

解得:x=

故选A.

组卷:244次
难度:中等
知识点:勾股定理
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3.

如图,已知点E在正方形ABCD,满足AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是(  )

A48                                                            B60

C76                                                            D80

【答案】

C

【解析】

试题解析:∵∠AEB=90°AE=6BE=8

∴AB=

∴S阴影部分=S正方形ABCD-SRtABE=102-

=100-24

=76.

故选C.

考点:勾股定理.

组卷:198次
难度:中等
知识点:勾股定理
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4.

如图所示,圆柱的高AB=3,底面直径BC=3,现在有一只蚂蚁想要从A处沿圆柱表面爬到对角C处捕食,则它爬行的最短距离是(  )

A               B                     C            D

【答案】

C

【解析】

分析:要求最短路径,首先要把圆柱的侧面展开,利用两点之间线段最短,然后利用勾股定理即可求解.

详解:把圆柱侧面展开,展开图如图所示,点A、C的最短距离为线段AC的长.

RtADC中,ADC=90°,CD=AB=3,AD为底面半圆弧长,AD=1.5π,

所以AC=

故选C.

点睛:本题考查了平面展开-最短路径问题,解题的关键是会将圆柱的侧面展开,并利用勾股定理解答.

组卷:206次
难度:中等
知识点:勾股定理
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5.

如图,,,,,,,的长为(   

A                  B                  C                  D

【答案】

B

【分析】

根据,可得B=DAB,即,在RtADC中根据勾股定理可得DC=1,则BC=BD+DC=.

【详解】

解:∵∠ADC为三角形ABD外角

∴∠ADC=B+DAB

∴∠B=DAB

RtADC中,由勾股定理得:

BC=BD+DC=

故选B

【点睛】

本题考查勾股定理的应用以及等角对等边,关键抓住这个特殊条件.

组卷:124次
难度:中等
知识点:勾股定理
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6.

如图,将ABC放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1),点A,B,C恰好在网格图中的格点上,那么ABCBC边上的高是(    )

A                    B                     C                     D

【答案】

A

【解析】

先用勾股定理耱出三角形的三边,再根据勾股定理的逆定理判断出ABC是直角三角形,最后设BC边上的高为h,利用三角形面积公式建立方程即可得出答案.

解:由勾股定理得:

 ,即

ABC是直角三角形,

BC边上的高为h

.

故选A.

点睛:本题主要考查勾股理及其逆定理.借助网格利用勾股定理求边长,并用勾股定理的逆定理来判断三角形是否是直角三角形是解题的关键.

组卷:230次
难度:中等
知识点:勾股定理
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7.

如图,圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm,在杯内离杯底4cm的点C处有一些蜂蜜,此时一只蚂蚁正好也在杯外壁,离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处,那么蚂蚁要吃到甜甜的蜂蜜所爬行的最短距离是(    )

A13                         B14                          C15                         D16

【答案】

C

【分析】

如图:过CCQEFQ,作A关于EH的对称点A′,连接A′CEHP,连接AP,则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,求出A′Q,CQ,根据勾股定理求出A′C即可.

【详解】

如图:沿过A的圆柱的高剪开,得出矩形EFGH,

CCQEFQ,作A关于EH的对称点A′,连接A′CEHP,连接AP,则AP+PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离,

AE=A′E,A′P=AP,

AP+PC=A′P+PC=A′C,

CQ=×18cm=9cm,A′Q=12cm-4cm+4cm=12cm,

RtA′QC中,由勾股定理得:A′C= =15cm,

故选C.

【点睛】

本题考查了勾股定理,轴对称-最短路线问题的应用,找出最短路线是解题关键.

组卷:255次
难度:中等
知识点:勾股定理
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8.

赵爽弦图巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲.如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,则小正方形的边长为  

A9                           B6                           C4                           D3

【答案】

D

【分析】

已知ab=8可求出四个三角形的面积,用大正方形面积减去四个三角形的面积得到小正方形的面积,根据面积利用算术平方根求小正方形的边长.

【详解】

 

 

 

 

故选D.

【点睛】

本题考查勾股定理的推导有较多变形题,解题的关键是找出图形间面积关系,同时熟练运用勾股定理以及完全平方公式,本题属于基础题型.

组卷:194次
难度:中等
知识点:勾股定理
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9.

如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2米,那么小巷的宽度为(     )

A0.7                    B1.5                    C2.2                    D2.4

【答案】

C

【分析】

在直角三角形中利用勾股定理计算出直角边,即可求出小巷宽度.

【详解】

Rt△A′BD中,∵∠A′DB=90°A′D=2米,BD2+A′D2=A′B′2∴BD2+22=6.25∴BD2=2.25∵BD0∴BD=1.5米,∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米.故选C

【点睛】

本题考查勾股定理的运用,利用梯子长度不变找到斜边是关键.

组卷:118次
难度:中等
知识点:勾股定理
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10.

如图,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为ab,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论:①BE=DG②BE⊥DG③DE2+BG2=2a2+2b2,其中正确结论有(  )

A0                       B1                       C2                       D3

【答案】

D

【解析】

分析:由四边形ABCD与四边形EFGC都为正方形,得到四条边相等,四个角为直角,利用SAS得到三角形BCE与三角形DCG全等,利用全等三角形对应边相等即可得到BE=DG,利用全等三角形对应角相等得到∠CBM=∠MDO,利用等角的余角相等及直角的定义得到BOD为直角,利用勾股定理求出所求式子的值即可.

详解:①∵四边形ABCDEFGC都为正方形,

∴CB=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,

∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE,即∠BCE=∠DCG.

BCEDCG中,CBCD∠BCE=∠DCG,CE=CG,

∴△BCE≌△DCG,

∴BE=DG,

故结论正确.

如图所示,设BEDC于点M,交DG于点O.

可知,△BCE≌△DCG,

∴∠CBE=∠CDG,即∠CBM=∠MDO.

∵∠BMC=∠DMO,∠MCB=180°-∠CBM-∠BMC,∠DOM=180°-∠CDG-∠MDO,

∴∠DOM=∠MCB=90°,

∴BE⊥DG.

结论正确.

如图所示,连接BDEG

知,BE⊥DG,

则在Rt△ODE中,DE2=OD2+OE2

Rt△BOG中,BG2=OG2+OB2

Rt△OBD中,BD2=OD2+OB2

Rt△OEG中,EG2=OE2+OG2

∴DE2+BG2=(OD2+OE2)+(OB2+OG2)=(OD2+OB2)+(OE2+OG2)=BD2+EG2.

Rt△BCD中,BD2=BC2+CD2=2a2

Rt△CEG中,EG2=CG2+CE2=2b2

∴BG2+DE2=2a2+2b2.

结论正确.

故选:D.

点睛:本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、正方形的性质.

组卷:228次
难度:偏难
知识点:全等三角形
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11.

ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于(     )

A10                         B8                           C610                   D810

【答案】

C

【详解】

分两种情况:

在图中,由勾股定理,得

;

;

∴BCBDCD8210.

在图中,由勾股定理,得

;

;

BCBD—CD8—26.

故选C.

组卷:289次
难度:中等
知识点:勾股定理
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12.

如图,直线L上有三个正方形abc,若ac的面积分别为19,则b的面积为(

A8                           B9                           C10                         D11

【答案】

C

【详解】

试题分析:运用正方形边长相等,再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE,然后证明△ACB≌△DCE,再结合全等三角形的性质和勾股定理来求解即可.

解:由于a、b、c都是正方形,所以AC=CD,∠ACD=90°;

∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°,即∠BAC=∠DCE,

△ABC△CED中,

∴△ACB≌△CDE(AAS),

∴AB=CE,BC=DE;

Rt△ABC中,由勾股定理得:AC2=AB2+BC2=AB2+DE2

Sb=Sa+Sc=1+9=10,

∴b的面积为10,

故选C.

考点:全等三角形的判定与性质;勾股定理;正方形的性质.

组卷:214次
难度:中等
知识点:全等三角形
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13.

已知,如图,长方形ABCD中,AB=3cmAD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则ABE的面积为(  )

A6cm2                      B8 cm2                     C10 cm2                   D12 cm2

【答案】

A

【分析】

首先根据翻折的性质得到EDBE,用AE表示出 EDBE的长度,然后在RtABE中利用勾股定理求出AE的长度,进而求出AE的长度,就可以利用面积公式求得ABE的面积了.

【详解】

解:将此长方形折叠,使点B与点D重合,

BE=ED

AD=9cm=AE+DE=AE+BE

BE=9AE

根据勾股定理可知:AB2+AE2=BE2

32+AE2=(9AE)2

解得:AE=4cm

∴△ABE的面积为:×3×4=6(cm2)

故选:A

【点睛】

此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力,解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的,相等的,如果想象不出哪些线段相等,可以动手折叠一下即可.

组卷:132次
难度:中等
知识点:勾股定理
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14.

下列长度的三条线段能组成直角三角形的是  

A3, 4,5              B2,3,4               C4,6,7               D5,11,12

【答案】

A

【分析】

利用勾股定理的逆定理:如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形.最长边所对的角为直角.由此判定即可.

【详解】

A32+42=52三条线段能组成直角三角形,故A选项正确;

B22+32≠42三条线段不能组成直角三角形,故B选项错误;

C42+62≠72三条线段不能组成直角三角形,故C选项错误;

D52+112≠122三条线段不能组成直角三角形,故D选项错误;

故选A

【点睛】

考查勾股定理的逆定理,如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形.

组卷:200次
难度:容易
知识点:勾股定理的逆定理
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15.

如图,AB⊙O的直径,弦CDAB于点PAP=2BP=6∠APC=30°,则CD的长为(  )

A                     B2                     C2                   D8

【答案】

C

【分析】

OHCDH,连结OC,如图,根据垂径定理由OHCD得到HC=HD,再利用AP=2BP=6可计算出半径OA=4,则OP=OAAP=2,接着在RtOPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=OP=1,然后在RtOHC中利用勾股定理计算出CH=,所以CD=2CH=2

【详解】

OHCDH,连结OC,如图,

OHCD

HC=HD

AP=2BP=6

AB=8

OA=4

OP=OAAP=2

RtOPH中,∵∠OPH=30°

∴∠POH=30°OH=OP=1

RtOHC中,OC=4OH=1

CH=

CD=2CH=2

故选C

【点睛】

本题主要考查圆中的计算问题,熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点,掌握数形结合的思想是解答的关键

组卷:184次
难度:中等
知识点:等腰三角形
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16.

如图,OP=1,过点PPP1OP,且PP1=1,得OP1;再过点P1P1P2OP1P1P2=1,得OP2;又过点P2P2P3OP2P2P3=1,得OP3=2……依此法继续作下去,得OP2018的值为(  )

A                  B                  C                   D

【答案】

D

【解析】

由勾股定理求出各边,再观察结果的规律.

【详解】∵OP=1,OP1=

OP2=,OP3==2,

∴OP4=

…,

OP2018=

故选D

【点睛】本题考查了勾股定理,读懂题目信息,理解定理并观察出被开方数比相应的序数大1是解题的关键.

组卷:228次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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17.

赵爽弦图巧妙地利用面积关系证明了勾股定理,是我国古代数学的骄傲,如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形,设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若,大正方形的面积为13,则小正方形的面积为(  )

A3                           B4                           C5                           D6

【答案】

C

【详解】

如图所示,a+b2=21

∴a2+2ab+b2=21

大正方形的面积为132ab=2113=8

小正方形的面积为138=5

故选C

考点:勾股定理的证明.

组卷:154次
难度:中等
知识点:勾股定理
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18.

若一个直角三角形的两直角边的长为125,则第三边的长为(        

A13           B1315                 C13                         D15

【答案】

C

【分析】

直角三角形中斜边最长,结合已知数据,利用勾股定理可求出第三边的长.

【详解】

125为直角边长时,第三边长为

故第三边的长为13.

故选:C.

【点睛】

本题考查了直角三角形的三边关系,熟练掌握勾股定理是解题的关键.

组卷:191次
难度:容易
知识点:勾股定理
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19.

如图,小华剪了两条宽为的纸条,交叉叠放在一起,且它们较小的交角为,则它们重叠部分的面积为( )

A1                           B2                           C                       D

【答案】

D

【解析】

过点DDEAB,垂足为E过点DDFBC,垂足为F. (如图)

根据辅助线作法和纸条宽度的定义可知:∠AED=∠CFD=90°,DE=DF=1,

由纸条的几何特征可知,ADBCABDC故四边形ABCD为平行四边形

由题目条件和对顶角关系可知,∠BCD=60°,

在平行四边形ABCD,∠BAD=∠BCD=60°,EAD=∠FCD=60°,

AEDCFD中:

∴△AED≌△CFD (AAS)

AD=CD

平行四边形ABCD为菱形

Rt△CFD,∠FCD=60°,

∴∠FDC=30°,

Rt△CFD

Rt△CFD

在菱形ABCDBC=CD

菱形ABCD的面积为:即纸片重叠部分的面积为.

故本题应选D.

组卷:279次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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20.

如图是一张直角三角形的纸片,两直角边AC6 cmBC8 cm,现将△ABC折叠,使点B与点A重合,折痕为DE,则BE的长为(

A4 cm                      B5 cm                      C6 cm                      D10 cm

【答案】

B

【解析】

直角边AC6 cmBC8 cm ∴根据勾股定理可知:BA=√62+82=10

∵A,B关于DE对称,∴BE=10÷2=5

组卷:257次
难度:中等
知识点:勾股定理
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21.

如图,在四边形ABCD中,.分别以点AC为圆心,大于长为半径作弧,两弧交于点E,作射线BEAD于点F,交AC于点O.若点OAC的中点,则CD的长为(  )

A                    B4                           C3                           D

【答案】

A

【分析】

连接FC,根据基本作图,可得OE垂直平分AC,由垂直平分线的性质得出.再根据ASA证明,那么,等量代换得到,利用线段的和差关系求出.然后在直角中利用勾股定理求出CD的长.

【详解】

解:如图,连接FC,则

中,

中,

故选A

【点睛】

本题考查了作图﹣基本作图,勾股定理,线段垂直平分线的判定与性质,全等三角形的判定与性质,难度适中.求出CFDF是解题的关键.

组卷:202次
难度:中等
知识点:课题学习 最短路径问题
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22.

如图,在平面直角坐标系中,四边形为菱形,,则对角线交点的坐标为(    )

A                B                 C                 D

【答案】

D

【分析】

过点轴于点,由直角三角形的性质求出长和长即可.

【详解】

解:过点轴于点

四边形为菱形,

OBAC

故选D

【点睛】

本题考查了菱形的性质、勾股定理及含30°直角三角形的性质,正确作出辅助线是解题的关键.

组卷:150次
难度:容易
知识点:平面直角坐标系
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23.

如图,每个小正方形的边长为1ABC是小正方形的顶点,则ABC的度数为(

A90°                        B60°                        C45°                        D30°

【答案】

C

【解析】

试题分析:根据勾股定理即可得到ABBCAC的长度,进行判断即可.

试题解析:连接AC,如图:

根据勾股定理可以得到:AC=BC=AB=

2+2=2

∴AC2+BC2=AB2

∴△ABC是等腰直角三角形.

∴∠ABC=45°

故选C

考点:勾股定理.

组卷:108次
难度:中等
知识点:勾股定理
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24.

如图,两个较大正方形的面积分别为225289,且中间夹的三角形是直角三角形,则字母A所代表的正方形的面积为(  )

A4                           B8                           C16                         D64

【答案】

D

【分析】

根据正方形的面积等于边长的平方,由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR2PQ2,又三角形PQR为直角三角形,根据勾股定理求出QR2,即为所求正方形的面积.

【详解】

解:正方形PQED的面积等于225

PQ2=225

正方形PRGF的面积为289

PR2=289

∵△PQR为直角三角形,根据勾股定理得:

PR2=PQ2+QR2

QR2=PR2PQ2=289225=64

则正方形QMNR的面积为64

故选:D

【点睛】

此题考查了勾股定理,以及正方形的面积公式.勾股定理最大的贡献就是沟通的关系,它的验证和利用都体现了数形结合的思想,即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决.能否由实际的问题,联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键.

组卷:251次
难度:容易
知识点:勾股定理
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25.

如图,长为8cm的橡皮筋放置在x轴上,固定两端AB,然后把中点C向上拉升3cmD点,则橡皮筋被拉长了(   )

A2cm                       B3cm                       C4cm                       D5cm

【答案】

A

【分析】

根据勾股定理可以得到ADBD的长度,然后用AD+BD-AB的长度即为所求.

【详解】

根据题意可得BC=4cmCD=3cm,根据RtBCD的勾股定理可得BD=5cm,则AD=BD=5cm,所以橡皮筋被拉长了(5+5)-8=2cm

【点睛】

主要考查了勾股定理解直角三角形.

组卷:188次
难度:基础
知识点:勾股定理
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26.

如图,正方形ABCD的边长为8MDC上,且DM=2NAC上的一动点,则DN+MN的最小值是(    

A8                           B9                           C10                         D12

【答案】

C

【解析】

要求DNMN的最小值,DNMN不能直接求,可考虑通过作辅助线转化DNMN的值,从而找出其最小值求解.

【详解】

解:正方形是轴对称图形,点B与点D是关于直线AC为对称轴的对称点,

连接BNBD,则直线AC即为BD的垂直平分线,

BNNDDNMNBNMN连接BMAC于点P

NAC上的动点,

由三角形两边和大于第三边,

知当点N运动到点P时,

BNMNBPPMBM

BNMN的最小值为BM的长度,

四边形ABCD为正方形,

BCCD8CM8−26BCM90°

BM10

DNMN的最小值是10

故选:C

【点睛】

此题考查正方形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用,解题的难点在于确定满足条件的点N的位置:利用轴对称的方法.然后熟练运用勾股定理.

组卷:199次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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27.

如图,数轴上的点A表示的数是1OB⊥OA,垂足为O,且BO=1,以点A为圆心,AB为半径画弧交数轴于点C,则C点表示的数为(  )

A0.4                     B                   C1                 D1

【答案】

C

【分析】

利用勾股定理求出AB的长,可得AB=AC=,推出OC=﹣1即可解决问题.

【详解】

RtAOB中,AB=

AB=AC=

OC=AC﹣OA=﹣1,

C表示的数为1﹣

故选C.

【点睛】

本题考查实数与数轴、勾股定理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.

组卷:273次
难度:中等
知识点:实数
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28.

已知:如图,折叠矩形ABCD,使点B落在对角线AC上的点F处,若BC8AB6,则线段CE的长度是(  )

A3                           B4                           C5                           D6

【答案】

C

【分析】

RtABC中利用勾股定理可求出AC10,设BEa,则CE8a,根据折叠的性质可得出BEFEaAFAB6AFEB90°,进而可得出FC4,在RtCEF中,利用勾股定理可得出关于a的一元二次方程,解之即可得出a值,将其代入8a中即可得出线段CE的长度.

【详解】

解:在RtABC中,AB6BC8

AC10

BEa,则CE8a

根据翻折的性质可知,BEFEaAFAB6AFEB90°

FC4

RtCEF中,EFaCE8aCF4

CE2EF2+CF2,即(8a2a2+42

解得:a3

8a5

故选C

【点睛】

本题考查了翻折变换、矩形的性质、勾股定理以及解一元二次方程,在RtCEF中,利用勾股定理找出关于a的一元二次方程是解题的关键.

组卷:206次
难度:基础
知识点:勾股定理
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29.

如图,以RtABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形.若AB=5,则图中阴影部分的面积为(   )

A6                           B                       C                       D25

【答案】

D

【解析】

分析:先用直角三角形的边长表示出阴影部分的面积,再根据勾股定理可得:AB2=AC2+BC2,进而可将阴影部分的面积求出.

详解:S阴影=AC2+BC2+AB2=(AB2+AC2+BC2),

AB2=AC2+BC2=25,

AB2+AC2+BC2=50,

S阴影=×50=25.

故选D.

点睛:本题考查了勾股定理的知识要求能够运用勾股定理证明三个等腰直角三角形的面积之间的关系.

组卷:125次
难度:中等
知识点:勾股定理
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30.

我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形,得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理,如图所示的矩形由两个这样的图形拼成,若a=3,b=4,则该矩形的面积为(    )

A20                         B24                          C                       D

【答案】

B

【分析】

设小正方形的边长为x,则矩形的一边长为(a+x),另一边为(b+x),根据矩形的面积的即等于两个三角形的面积之和,也等于长乘以宽,列出方程,化简再代入a,b的值,得出x2+7x=12,再根据矩形的面积公式,整体代入即可.

【详解】

设小正方形的边长为x,则矩形的一边长为(a+x),另一边为(b+x),根据题意得 :2(ax+x2+bx)=(a+x)(b+x),

化简得 :ax+x2+bx-ab=0,

a = 3 , b = 4 ,

x2+7x=12;

该矩形的面积为=(a+x)(b+x)=(3+x)(4+x)=x2+7x+12=24.

故答案为B.

【点睛】

本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用,求出小正方形的边长是解题的关键.

组卷:203次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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31.

三角形的三边长为,则这个三角形是(   

A等边三角形           B钝角三角形            C直角三角形           D锐角三角形

【答案】

C

【分析】

利用完全平方公式把等式变形为a2+b2=c2,根据勾股定理逆定理即可判断三角形为直角三角形,可得答案.

【详解】

a2+2ab+b2=c2+2ab

a2+b2=c2

这个三角形是直角三角形,

故选:C

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理,如果一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形,最长边所对的角为直角.

组卷:140次
难度:中等
知识点:勾股定理的逆定理
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32.

如图,菱形ABCD中对角线相交于点O,且OEAB,若AC8BD6,则OE的长是(   

A2.5                       B5                           C2.4                        D无法确定

【答案】

C

【解析】

试题分析:根据菱形的性质可得:△AOB为直角三角形,AO=4BO=3,则根据勾股定理可得:AB=5,根据等积法可得:OE=.

组卷:223次
难度:容易
知识点:勾股定理
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33.

如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案,已知大正方形面积为49,小正方形面积为4,若用表示直角三角形的两直角边(),下列四个说法:

.

其中说法正确的是(   )

A①②                      B①②③                   C①②④                  D①②③④

【答案】

B

【详解】

可设大正方形边长为a,小正方形边长为b,所以据题意可得a2=49,b2=4;

根据直角三角形勾股定理得a2=x2+y2,所以x2+y2=49,式正确;

因为是四个全等三角形,所以有x=y+2,所以x-y=2,式正确;

根据三角形面积公式可得S=xy/2,而大正方形的面积也等于四个三角形面积加上小正方形的面积,所以,化简得2xy+4=49,式正确;

而据式和式2x=11,x=5.5,y=3.5,x,y代入式都不正确,因而式不正确.

综上所述,这一题的正确答案为B

组卷:163次
难度:中等
知识点:勾股定理
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34.

将根24cm的筷子,置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中,设筷子露在杯子外面的长度hcm,则h的取值范围是(   )

A                                               B

C                                     D

【答案】

C

【解析】

观察图形,找出图中的直角三角形,利用勾股定理解答即可.

【详解】

首先根据圆柱的高,知筷子在杯内的最小长度是8cm,则在杯外的最大长度是24-8=16cm

再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是(如图)AC==17,则在杯外的最小长度是24-17=7cm

所以h的取值范围是7cmh16cm

故选C.

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用,注意此题要求的是筷子露在杯外的取值范围.主要是根据勾股定理求出筷子在杯内的最大长度.

组卷:261次
难度:中等
知识点:勾股定理
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35.

如图,一个梯子AB2.5米,顶端A靠在墙AC上,这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米,梯子滑动后停在DE的位置上,测得BD长为0.5米,则梯子顶端A下落了(  )米.

A0.5                       B1                           C1.5                        D2

【答案】

A

【解析】

分析:在直角三角形ABC根据勾股定理AC=2由于梯子的长度不变在直角三角形CDE根据勾股定理CE=1.5所以AE=0.5即梯子的顶端下滑了0.5米.

详解RtABCAB=2.5BC=1.5

AC===2米.

RtECDAB=DE=2.5CD=(1.5+0.5)米

EC===1.5

AE=ACCE=2﹣1.5=0.5米.

    故选A.

点睛本题中主要注意梯子的长度不变分别运用勾股定理求得ACCE的长即可计算下滑的长度.

组卷:190次
难度:容易
知识点:勾股定理
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36.

如图,字母B所代表的正方形的面积是  

A12                         B144                        C13                         D194

【答案】

B

【分析】

外围正方形的面积就是斜边和一直角边的平方,实际上是求另一直角边的平方,用勾股定理即可解答.

【详解】

如图,

根据勾股定理我们可以得出:

a2+b2c2

a225c2169

b216925144

因此B的面积是144

故选B

【点睛】

本题主要考查了正方形的面积公式和勾股定理的应用.只要搞清楚直角三角形的斜边和直角边本题就容易多了.

组卷:208次
难度:中等
知识点:勾股定理
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37.

如图,已知AB⊙O的弦,AC⊙O的直径,D⊙O上一点,过D⊙O的切线交BA的延长线于P,DP⊥BPP.PD+PA=6AB=6,则⊙O的直径AC的长为(  

A5                           B8                           C10                         D12

【答案】

C

【解析】

分析:通过切线的性质表示出EC的长度,用相似三角形的性质表示出OE的长度,由已知条件表示出OC的长度即可通过勾股定理求出结果.

详解:如图:连接BC,并连接ODBC于点E:

∵DPBP,AC为直径;

∴∠DPB=∠PBC=90°.

∴PD∥BC,PDO的切线.

∴∠PDE=90°=∠DEB,

四边形PDEB为矩形,

∴AB∥OE,且OAC中点,AB=6.

∴PD=BE=EC.

∴OE=AB=3.

PA=x,则OD=DE-OE=6+x-3=3+x=OC,EC=PD=6-x.

.Rt△OEC:

,

即:,解得x=2.

所以AC=2OC=2×(3+x)=10.

点睛:本题考查了切线的性质,相似三角形的性质,勾股定理.

组卷:232次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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38.

Rt△ABC中,C=90°BC=3AC=4DE分别是ACBC上的一点,且DE=3  若以DE为直径的圆与斜边AB相交于MN,则MN的最大值为(   

A                       B                         C                         D

【答案】

D

【解析】

根据题意有COG三点在一条直线上OG最小,MN最大,根据勾股定理求得AB,根据三角形面积求得CF,然后根据垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值.

【详解】

解:取DE的中点O,过点OOGMN于点G,作CHAB于点H.

当弦心距OG最短时,MN取最大值,

当点COG三点共线时,即当点OCH上时,MN取最大值,

连接OM.

∵∠C=90°BC=3AC=4

CH==2.4

OH=2.4-1.5=0.9

OM=1.5

则在RtMOH中,由勾股定理得MH=1.2

根据垂径定理,MN=2MH=2.4.

故选D.

【点睛】

本题实质是求圆中的弦的最大值的问题,圆中弦的弦心距越小,弦越大,所以当弦MN的弦心距最小时,MN的值最大.直角三角形斜边上的高是一个定值,圆的半径也是一个定值,所以当点COG三点共线时,弦心距OH最小,此时MN最大,再构造直角三角形,结合垂径定理,勾股定理则可解决问题.

组卷:281次
难度:很难
知识点:勾股定理
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39.

如图,在△ABC中,∠C=90°AC=4BC=2,点AC分别在x轴、y轴上,当点Ax轴上运动时,点C随之在y轴上运动.在运动过程中,点B到原点的最大距离是(     )

A6                           B2                     C2                     D22

【答案】

D

【解析】

试题分析:作AC的中点D,连接ODDB

∵OB≤OD+BD

ODB三点共线时OB取得最大值,

∵DAC中点,

∴OD=AC=2

∵BD=OD=AC=2

B到原点O的最大距离为2+2

故选D

考点:1.二次函数的应用;2.两点间的距离;3.勾股定理的应用.

组卷:230次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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40.

如图,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2m,则树高为(    )米

A                       B                       C+1                   D3

【答案】

C

【解析】

由题意可知,AC=1,AB=2,∠CAB=90°

据勾股定理则BC=m;

∴AC+BC=(1+)m.

答:树高为(1+)米.

故选C.

组卷:206次
难度:中等
知识点:勾股定理
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二、填空题(共25题)
1.

已知直角三角形的两边长分别为34.则第三边长为________

【答案】

5

【解析】

试题分析:已知直角三角形两边的长,但没有明确是直角边还是斜边,因此分两种情况讨论:

长为3的边是直角边,长为4的边是斜边时:第三边的长为:

长为34的边都是直角边时:第三边的长为:

第三边的长为:5

考点:1.勾股定理;2.分类思想的应用.

组卷:211次
难度:中等
知识点:勾股定理
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2.

中,平分平分相交于点,且,则__________

【答案】

【解析】

由已知易得AFE=45°,过EEGAD,垂足为G,根据已知易得EG=FG=1,再根据勾股定理可得AE=,过F分别作FHAC垂足为H, FMBC垂足为M,FNAB垂足为N,易得CH=FH,根据勾股定理可求出a=,继而可得CH=,由AC=AE+EH+HC即可求得.

【详解】如图,AD、BE分别平分CABCBA,

∴∠1=2,3=4,

∵∠C=90°,∴∠2+3=45°,∴∠AFE=45°,

EEGAD,垂足为G,

RtEFG中,EFG=45°,EF=EG=FG=1,

RtAEG中,AG=AF-FG=4-1=3,AE=

F分别作FHAC垂足为H, FMBC垂足为M,FNAB垂足为N,易得CH=FH,

EH=a,则FH2=EF2-EH2=2-a2

RtAHF中,AH2+HF2=AF2

+2-a2=16,

a=

CH=FH=

AC=AE+EH+HC=

故答案为.

【点睛】本题考查了角平分线的性质,勾股定理的应用等,综合性质较强,正确添加辅助线是解题的关键.

组卷:126次
难度:很难
知识点:角的平分线的性质
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3.

把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A,且另三个锐角顶点B,C,D在同一直线上.若AB=,则CD=_____

【答案】

 

【分析】

先利用等腰直角三角形的性质求出BC=2,BF=AF=1,再利用勾股定理求出DF,即可得出结论.

【详解】

如图,过点AAFBCF,

RtABC中,B=45°,

BC=AB=2,BF=AF=AB=1,

两个同样大小的含45°角的三角尺,

AD=BC=2,

RtADF中,根据勾股定理得,DF==

CD=BF+DF-BC=1+-2=-1,

故答案为-1.

【点睛】

此题主要考查了勾股定理,等腰直角三角形的性质,正确作出辅助线是解本题的关键.

组卷:292次
难度:中等
知识点:勾股定理
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4.

如图,在Rt△ABC中,∠B90°AB3BC4,将△ABC折叠,使点B恰好落在边AC上,与点B′重合,AE为折痕,则EB′  _______

【答案】

1.5

【解析】

Rt△ABC中,△ABC折叠得△AB′E∴AB′ABB′EBE∴B′C532.设B′EBEx,则CE4x.在Rt△B′CE中,CE2B′E2B′C24x2x222.解之得

组卷:270次
难度:中等
知识点:勾股定理
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5.

在锐角三角形ABC中.BC=ABC=45°BD平分ABC.若MN分别是边BDBC上的动点,则CMMN的最小值是____

【答案】

4

【分析】

过点CCEAB于点E,交BD于点M′,过点M′M′N′BCN′,则CE即为CM+MN的最小值,再根据BC=ABC=45°BD平分ABC可知BCE是等腰直角三角形,由锐角三角函数的定义即可求出CE的长.

【详解】

解:过点CCEAB于点E,交BD于点M′,过点M′M′N′BCN′

CE即为CM+MN的最小值,
BC=ABC=45°BD平分ABC
∴△BCE是等腰直角三角形,
CE=BC•cos45°=×=4
CM+MN的最小值为4

【点睛】

本题考查了轴对称最短路线问题,难度较大,根据题意作出辅助线,构造出等腰直角三角形,利用锐角三角函数的定义求解是解答此题的关键.

组卷:157次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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6.

如图,在△ABC中,AC=BC=2∠C=900AD△ABC的角平分线,DE⊥AB,垂足为EAD的垂直平分线交AB于点F,则DF的长为 __________________

【答案】

【详解】

解:ADABC的角平分线,

∴∠CAD=∠BADDC=DE

GFAD的垂直平分线,

AF=DF

∴∠BAD=∠ADF

∴∠ADF=∠CAD

DFAC

∴∠BDF=90°

∴△BDF是等腰直角三角形,

BD=DF

AC=BC=2C=900

 

BD=x,则DE=CD=2-x

BE2+DE2=BD2

 

解之得

 

故答案为:

组卷:258次
难度:中等
知识点:课题学习 最短路径问题
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7.

如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别为20 dm,3 dm,2 dmAB是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点的最短路程是__________dm.

【答案】

25

【分析】

先将图形平面展开,再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答即可.

【详解】

如图所示.

三级台阶平面展开图为长方形,长为20,宽为(2+3×3蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长.

设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x,由勾股定理得:解得:x=25

故答案为25

【点睛】

本题考查了平面展开﹣最短路径问题,用到台阶的平面展开图,只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答.

组卷:176次
难度:中等
知识点:勾股定理
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8.

如图,在RtABC中,C=90°,将ABC绕点C顺时针旋转90°得到A′B′C,M、M′分别是AB、A′B′的中点,若AC=4,BC=2,则线段MM′的长为____

【答案】

 

【解析】

试题分析:根据勾股定理可求得AB=A′B′=,根据旋转不变性,可知∠MCM′=90°,然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可知CM=AB= ,CM′=所以再次根据勾股定理可求得MN=.

故答案为

点睛:此题主要考查了直角三角形斜边上的中线,解题时先根据勾股定理求出斜边的长,然后根据旋转的性质和直角三角形的斜边上的中线求出CMCM′,然后根据勾股定理可求解.

组卷:237次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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9.

ABC中,AB=15AC=13,高AD=12,则的周长为_______________

【答案】

3242

【分析】

根据题意画出图形,分两种情况:ABC是钝角三角形或锐角三角形,分别求出边BC,即可得到答案

【详解】

ABC是钝角三角形时,

∵∠D=90°AC=13AD=12

,

∵∠D=90°AB=15AD=12

,

BC=BD-CD=9-5=4

∴△ABC的周长=4+15+13=32

ABC是锐角三角形时,

∵∠ADC=90°AC=13AD=12

∵∠ADB=90°AB=15AD=12

BC=BD-CD=9+5=14

∴△ABC的周长=14+15+13=42

综上,ABC的周长是3242

故答案为:3242.

【点睛】

此题考查勾股定理的实际应用,能依据题意正确画出图形分类讨论是解题的关键.

组卷:292次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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10.

如图,P是等边三角形ABC中的一个点,PA=2,PB=2  , PC=4,则三角形ABC的边长为________ 

【答案】

2

【详解】

解:将BAPB点逆时针旋转60°BCM,则BABC重合,如图,

BMBPMCPA=2,∠PBM=60°.

∴△BPM是等边三角形,

PMPB

MCP中,PC=4,

PC2PM2MC2PC=2MC

∴△PCM是直角三角形,且CMP=90°,∠CPM=30°.

∵△PBM是等边三角形,BPM=60°.

∴∠BPC=90°,

BC2PB2PC2=()2+42=28,

∴BC=

故答案为

【点睛】

本题考查了旋转的性质:旋转前后的两个图形全等,对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,对应点到旋转中心的距离相等,还考查了等边三角形的判定和性质,勾股定理及其逆定理,通过旋转构造出直角三角形是解决此题的关键

组卷:283次
难度:偏难
知识点:等腰三角形
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11.

如图所示的网格是正方形网格,则_____°(点ABP是网格线交点).

【答案】

45.

【分析】

延长AP交格点于D,连接BD,根据勾股定理得到PD2=BD2=1+22=5PB2=12+32=10,求得PD2+DB2=PB2,于是得到PDB=90°,根据三角形外角的性质即可得到结论.

【详解】

解:延长AP交格点于D,连接BD


PD2=BD2=1+22=5PB2=12+32=10
PD2+DB2=PB2
∴∠PDB=90°
PBD为等腰直角三角形,

∴∠DPB=PAB+PBA=45°
故答案为45

【点睛】

本题考查了勾股定理的逆定理,勾股定理,三角形的外角的性质,等腰直角三角形的判定和性质,正确的作出辅助线是解题的关键.

组卷:219次
难度:中等
知识点:勾股定理
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12.

如图,在平面直角坐标系中,等腰直角三角形OAA1的直角边OAx轴上,点A1在第一象限,且OA=1,以点A1为直角顶点,OA1为一直角边作等腰直角三角形OA1A2,再以点A2为直角顶点,OA2为直角边作等腰直角三角形OA2A3依此规律,则点A2018的坐标是_____

【答案】

(0,21009

【解析】

【分析】本题点A坐标变化规律要分别从旋转次数与点A所在象限或坐标轴、点A到原点的距离与旋转次数的对应关系.

【详解】∵∠OAA1=90°,OA=AA1=1,以OA1为直角边作等腰RtOA1A2,再以OA2为直角边作等腰RtOA2A3,…,

OA1=,OA2=(2,…,OA2018=(2018

A1、A2、…,每8个一循环,

2018=252×8+2

A2018的在y轴正半轴上,OA2018==21009

故答案为(0,21009).

【点睛】本题是平面直角坐标系下的规律探究题,除了研究动点变化的相关数据规律,还应该注意象限符号.

组卷:267次
难度:偏难
知识点:平面直角坐标系
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13.

如图,BD为四边形ABCD的对角线,BC=AD∠A=∠CBD∠ABD=120°AB=3CD=,则BC的长为_____________.

【答案】

7

【解析】

如图,过点DDE//BA,并且使DE=BD,连接BE,AE,过点BBFDE于点F,过点AAGDE于点G,则四边形ABFG是矩形,从而有FG=AB=3,AG=BF,通过证明ADECBD,可得AE=CD=根据已知易得BDE是等边三角形,根据等边三角形的性质可得DF=BD,BF=BD,在RtAEG中,利用勾股定理可求得BD=5,从而得AG=,DG=,在RtADG中,根据勾股定理求得AD长即可得答案.

【详解】如图,过点DDE//BA,并且使DE=BD,连接BE,AE,过点BBFDE于点F,过点AAGDE于点G,则四边形ABFG是矩形,

FG=AB=3,AG=BF,

AB//DE,∴∠ADE=BAD,

∵∠BAD=CBD,

∴∠ADE=CBD,

DE=BD,AD=BC,

ADECBD,

AE=CD=

∵∠ABD=120°,DE//AB,

∴∠BDE=60°,

∴△BDE是等边三角形,

DF=BD,BF=BD,

RtAEG中, AE2=AG2+EG2,EG=DF+FG-DE=BD+3-BD=3-BD,

BD=5BD=-2(舍去),

AG=,DG=DF+FG=+3=

RtADG中,AD2=AG2+DG2=(2+(2=49,

AD=7,

BC=7,

故答案为:7.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的应用等,综合性较强,有一定的难度,正确添加辅助线灵活应用相关知识是解题的关键.

组卷:201次
难度:很难
知识点:三角形全等的判定
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14.

如图,在高2米,坡角为30°的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需______米.

【答案】

2+2

【分析】

地毯的竖直的线段加起来等于BC,水平的线段相加正好等于AC,即地毯的总长度至少为(AC+BC).

【详解】

RtABC中,A=30°BC=2mC=90°
AB=2BC=4m
AC=m
AC+BC=2+2m.

故答案为2+2.

【点睛】

本题主要考查勾股定理的应用,解此题的关键在于准确理解题中地毯的长度为水平与竖直的线段的和.

组卷:247次
难度:中等
知识点:勾股定理单元测试
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15.

RtABC中,ABC=90°,AB=3,BC=4,过点B的直线把ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,则这个等腰三角形的面积是_____

【答案】

3.64.324.8

【解析】

RtABC中,通过解直角三角形可得出AC=5、SABC=6,找出所有可能的分割方法,并求出剪出的等腰三角形的面积即可.

【详解】在RtABC中,ACB=90°,AB=3,BC=4,

AB==5,SABC=AB•BC=6.

沿过点B的直线把ABC分割成两个三角形,使其中只有一个是等腰三角形,有三种情况:

AB=AP=3时,如图1所示,

S等腰ABP=•SABC=×6=3.6;

AB=BP=3,且PAC上时,如图2所示,

ABC的高BD,则BD=

AD=DP==1.8,

AP=2AD=3.6,

S等腰ABP=•SABC=×6=4.32;

CB=CP=4时,如图3所示,

S等腰BCP=•SABC=×6=4.8;

综上所述:等腰三角形的面积可能为3.64.324.8,

故答案为3.64.324.8.

【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形的面积,找出所有可能的分割方法,并求出剪出的等腰三角形的面积是解题的关键.

组卷:237次
难度:中等
知识点:等腰三角形
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16.

如图,正方形纸片ABCD的边长为12,EF分别是边ADBC上的点,将正方形纸片沿EF折叠,使得点A落在CD边上的点A处,此时点B落在点B处.已知折痕EF=13,则AE的长等于_________

【答案】

 

【解析】

过点FFGAD,垂足为G,连接AA,在GEF中,由勾股定理可求得EG=5,轴对称的性质可知AAEF,由同角的余角相等可证明EAH=GFE,从而可证明ADA≌△FGE,故此可知GE=DA′=5,最后在EDA利用勾股定理列方程求解即可.

解:过点FFGAD,垂足为G,连接AA′.

RtEFG,EG=,

轴对称的性质可知AAEF

∴∠EAH+AEH=90.

FGAD

∴∠GEF+EFG=90.

∴∠DAA′=GFE.

GEFDAA中,

 ,

∴△GEF≌△DAA.

DA′=EG=5.

AE=x,由翻折的性质可知EA′=x,则DE=12−x.

RtEDA,由勾股定理得:AE2=DE2+AD2,x2=(12−x)2+52.

解得:x=.

故答案为:.

点睛:本题主要考查正方形、轴对称、全等三角形的性质及勾股定理等相关知识.利用辅助线构全等形、利用勾股定理建立方程是解题的关键.

组卷:101次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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17.

已知三角形ABC的三边长为a,b,c满足a+b=10,ab=18,c=8,则此三角形为______三角形.

【答案】

直角

【解析】

根据已知:a+b=10ab=18c=8,可求(a+b22ab=10036=64,和c2=64,因此可得到a2+b2=c2,然后根据勾股定理可知此三角形是直角三角形.

故答案为直角.

组卷:249次
难度:偏难
知识点:勾股定理的逆定理
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18.

如图,正方体的底面边长分别为2cm3cm,高为5cm.若一只蚂蚁从P点开始经过四个侧面爬行一圈到达Q点,则蚂蚁爬行的最短路径长为_____cm

【答案】

5

【解析】

要求长方体中两点之间的最短路径,最直接的作法,就是将长方体展开,然后利用两点之间线段最短解答.

【详解】

展开图如图所示:

由题意,在RtAPQ中,PD=10cm,DQ=5cm,

蚂蚁爬行的最短路径长=PQ==5(cm),

故答案为:5

【点睛】

本题考查了平面展开﹣最短路径问题,解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后,再确定两点之间的最短路径.一般情况是两点之间,线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问题.

组卷:148次
难度:偏难
知识点:直射、射线、线段
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19.

如图,在边长为4的等边中,分别为的中点,于点的中点,连接,则的长为__________

【答案】

【解析】

分析:连接DE,根据题意可得ΔDEG是直角三角形,然后根据勾股定理即可求解DG的长.

详解:连接DE,

D、E分别是AB、BC的中点,

DEAC,DE=AC

∵ΔABC是等边三角形,且BC=4

∴∠DEB=60°,DE=2

EFAC,C=60°,EC=2

∴∠FEC=30°,EF=

∴∠DEG=180°-60°-30°=90°

GEF的中点,

EG=.

 RtΔDEG中,DG=

故答案为.

点睛:本题主要考查了等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线性质定理,记住和熟练运用性质是解题的关键.

组卷:233次
难度:中等
知识点:等腰三角形
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20.

如图,已知在RtABC中,ACB90°AB4,分别以ACBC为直径作半圆,面积分别记为S1S2,则S1S2_________

【答案】

【解析】

试题解析:

所以

故答案为

组卷:223次
难度:中等
知识点:勾股定理
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21.

如图.在直角坐标系中,矩形ABCO的边OAx轴上,边OCy轴上,点B的坐标为(13),将矩形沿对角线AC翻折,B点落在D点的位置,且ADy轴于点E,那么点D的坐标为______

【答案】

(﹣

【分析】

首先过DDFAFF,根据折叠可以证明CDE≌△AOE,然后利用全等三角形的性质得到OE=DE,OA=CD=1,设OE=x,那么CE=3﹣x,DE=x,利用勾股定理即可求出OE的长度,而利用已知条件可以证明AEO∽△ADF,而AD=AB=3,接着利用相似三角形的性质即可求出DF、AF的长度,也就求出了D的坐标.

【详解】

解:如图,过DDFAOF,

B的坐标为(1,3),

BC=AO=1,AB=OC=3,

根据折叠可知:CD=BC=OA=1,CDE=B=AOE=90°,AD=AB=3,

CDEAOE中,

 ,

∴△CDE≌△AOE,

OE=DE,OA=CD=1,AE=CE,

OE=x,那么CE=3﹣x,DE=x,

RtDCE中,CE2=DE2+CD2

(3﹣x)2=x2+12

x=

OE=,AE=CE=OC﹣OE=3﹣=

DFAF,

DFEO,

∴△AEO∽△ADF,

AE:AD=EO:DF=AO:AF,

:3=:DF=1:AF,

DF=,AF=

OF=﹣1=

D的坐标为:(﹣).

故答案为(﹣).

【点睛】

此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质.解题的关键是把握折叠的隐含条件,利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形,然后利用它们的性质即可解决问题.

组卷:132次
难度:偏难
知识点:平面直角坐标系
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22.

在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示).已知斜放置的三个正方形的面积分别是abc,正放置的四个正方形的面积依次是S1S2S3S4,则S1S2S3S4_____

【答案】

a+c

【分析】

运用勾股定理可知,每两个相邻的正方形面积和都等于中间斜放的正方形面积,据此即可解答,具体: 求证ABC≌△CDE,得DE=BC,△ABCAB2+CE2=AC2,根据S3=AB2,S4=DE2可求得S3+S4=c,同理可得S1+S2=a,故S3+S4+S1+S2=a+c..

【详解】

解:

∵∠ACB+∠DCE=90°,∠BAC+∠ACB=90°,
∴∠DCE=∠BAC,
∵AC=CE,∠ABC=∠CDE
∴△ABC≌△CDE,
∴BC=DE,
在直角ABC中,AB2+BC2=AC2
即,AB2+DE2=AC2
∵S3=AB2,S4=DE2
∴S3+S4=c
同理S1+S2=a
故可得S1+S2+S3+S4=a+c,
故答案是: a+c.

【点睛】

本题考查正方形面积的计算,正方形各边相等的性质,全等三角形的判定.解题关键是本题中根据ABC≌△CDE证明S3+S4=c

组卷:127次
难度:中等
知识点:全等三角形
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23.

如图,已知等边ABC的边长是2,以BC边上的高AB1为边作等边三角形,得到第一个等边AB1C1;再以等边AB1C1B1C1边上的高AB2为边作等边三角形,得到第二个等边AB2C2;再以等边AB2C2B2C2边上的高AB3为边作等边三角形,得到第三个等边AB3C3;…,记B1CB2的面积为S1B2C1B3的面积为S2B3C2B4的面积为S3,如此下去,则Sn=_____

【答案】

【解析】

AB1是边长为2的等边三角形ABC的高,利用三线合一得到B1BC的中点,求出CB1的长,继而可得B1CB2是有一个角为30度的直角三角形,同理可知B2C1B3B3C2B4B4C3B5、…、都是有一个角为30度的直角三角形,而且后一个的斜边是前一个30度角所邻的直角边,由此即可求得Sn.

【详解】等边三角形ABC的边长为2,AB1BC,

∴∠C=60°,CB1=BB1=1,

∵∠B1B2C=90°,∴∠CB1B2=30°,

CB2=,B1B2=S1=

同理,RtB2C1B3中,B2C1=B1B2=C1B3=×=,B2B3=

S2=

同理,S3=

…,

Sn=

故答案为

【点睛】本题考查了规律题,涉及等边三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等,有一定难度,熟练掌握并灵活运用等边三角形的性质、勾股定理等解本题的关键.

组卷:116次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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24.

如图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,已知S1=4,S2=9,S3=8,S4=10,则S=________.

【答案】

31

【分析】

利用勾股定理,根据图形得到S+S+ S3+ S4=S,求出即可.

【详解】

:所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,

S= S+S+ S3+ S4=9+4+8+10=31

故答案为:31.

【点睛】

此题考查了勾股定理,熟练掌握勾股定理是解本题的关键.

组卷:164次
难度:中等
知识点:勾股定理
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25.

ABC中,AB=,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为_____

【答案】

91

【解析】

ABC中,ACB分锐角和钝角两种:

如图1,ACB是锐角时,根据勾股定理计算BDCD的长可得BC的值;

如图2,ACB是钝角时,同理得:CD=4,BD=5,根据BC=BD﹣CD代入可得结论.

【详解】有两种情况:

如图1,ADABC的高,

∴∠ADB=ADC=90°,

由勾股定理得:BD==5,

CD==4,

BC=BD+CD=5+4=9;

如图2,同理得:CD=4,BD=5,

BC=BD﹣CD=5﹣4=1,

综上所述,BC的长为91;

故答案为:91.

【点睛】本题考查了勾股定理的运用,熟练掌握勾股定理是关键,并注意运用了分类讨论的思想解决问题.

组卷:300次
难度:中等
知识点:勾股定理
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三、解答题(共35题)
1.

已知关于x的一元二次方程(a+cx2+2bx+ac=0,其中abc分别为△ABC三边的长.

1)如果x=1是方程的根,试判断△ABC的形状,并说明理由;

2)如果方程有两个相等的实数根,试判断△ABC的形状,并说明理由;

3)如果△ABC是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

【答案】

(1) △ABC是等腰三角形;(2)△ABC是直角三角形;(3) x1=0x2=1

【解析】

试题分析:(1)直接将x=1代入得出关于ab的等式,进而得出a=b,即可判断△ABC的形状;

2)利用根的判别式进而得出关于abc的等式,进而判断△ABC的形状;

3)利用△ABC是等边三角形,则a=b=c,进而代入方程求出即可.

试题解析:(1△ABC是等腰三角形;

理由:∵x=1是方程的根,

a+c×(﹣122b+ac=0

∴a+c2b+ac=0

∴ab=0

∴a=b

∴△ABC是等腰三角形;

2方程有两个相等的实数根,

2b24a+c)(ac=0

∴4b24a2+4c2=0

∴a2=b2+c2

∴△ABC是直角三角形;

3)当△ABC是等边三角形,a+cx2+2bx+ac=0,可整理为:

2ax2+2ax=0

∴x2+x=0

解得:x1=0x2=1

考点:一元二次方程的应用.

组卷:117次
难度:中等
知识点:解一元二次方程
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2.

如图,在平面直角坐标系中,已知ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).

(1)将ABC向下平移5个单位后得到A1B1C1,请画出A1B1C1

(2)将ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到A2B2C2,请画出A2B2C2

(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)

【答案】

(1)画图见解析;(2)画图见解析;(3)三角形的形状为等腰直角三角形.

【解析】

【分析】(1)利用点平移的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标,然后描点即可得到A1B1C1为所作;

(2)利用网格特定和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2,从而得到A2B2C2

(3)根据勾股定理逆定理解答即可.

【详解】(1)如图所示,A1B1C1即为所求;

(2)如图所示,A2B2C2即为所求;

(3)三角形的形状为等腰直角三角形,OB=OA1=,A1B==

OB2+OA12=A1B2

所以三角形的形状为等腰直角三角形.

【点睛】本题考查了作图﹣旋转变换:根据旋转的性质可知,对应角都相等都等于旋转角,对应线段也相等,由此可以通过作相等的角,在角的边上截取相等的线段的方法,找到对应点,顺次连接得出旋转后的图形.

组卷:157次
难度:中等
知识点:勾股定理
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3.

阅读下列题目的解题过程:

已知abcABC的三边,且满足a2c2b2c2=a4b4,试判断ABC的形状.

解:∵a2c2b2c2=a4b4 A

∴c2a2b2=a2+b2)(a2b2) (B

∴c2=a2+b2 C

∴△ABC是直角三角形

问:(1)上述解题过程,从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号:     

2)错误的原因为:     

3)本题正确的结论为:     

【答案】

(1)C;(2)没有考虑a=b的情况;(3)ABC是等腰三角形或直角三角形.

【解析】

1)根据题目中的书写步骤可以解答本题;

(2)根据题目中BC可知没有考虑a=b的情况;

(3)根据题意可以写出正确的结论.

【详解】(1)由题目中的解答步骤可得,

错误步骤的代号为:C,

故答案为C;

(2)错误的原因为:没有考虑a=b的情况,

故答案为没有考虑a=b的情况;

(3)本题正确的结论为:ABC是等腰三角形或直角三角形,

故答案为ABC是等腰三角形或直角三角形.

【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理,解答本题的关键是明确题意,写出相应的结论,注意考虑问题要全面.

组卷:278次
难度:中等
知识点:勾股定理的逆定理
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4.

如图,△AOB△COD是等腰直角三角形,点DAB上,

1)求证:△AOC≌△BOD

2)若AD=3BD=1,求CD

【答案】

(1)见解析;(2

【分析】

1)因为∠AOB=∠COD=90°,由等量代换可得∠DOB=∠AOC,又因为△AOB△COD均为等腰直角三角形,所以OC=ODOA=OB,则△AOC≌△BOD

2)由(1)可知△AOC≌△BOD,所以AC=BD=1∠CAO=∠DBO=45°,由等量代换求得∠CAB=90°,根据勾股定理即可求出CD的长.

【详解】

解:(1∵△AOB△COD是等腰直角三角形,

∴OC=ODOA=OB∠AOB=∠COD=90°

∴∠AOC=∠BOD=90°∠AOD

△AOC△BOD

∴△AOC≌△BODSAS);

2∵△AOB△COD是等腰直角三角形,

∴OC=ODOA=OB∠AOB=∠COD=90°

∴∠B=∠OAB=45°

∵△AOC≌△BODBD=1

∴AC=BD=1∠CAO=∠B=45°

∵∠OAB=45°

∴∠CAD=45°+45°=90°

Rt△CAD中,由勾股定理得:CD=

组卷:133次
难度:中等
知识点:三角形全等的判定
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5.

我市某中学有一块四边形的空地ABCD,如图所示,为了绿化环境,学校计划在空地上种植草皮,经测量A=90°,AB=3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m.

(1)求出空地ABCD的面积.

(2)若每种植1平方米草皮需要200元,问总共需投入多少元?

【答案】

(1)36;(2)7200.

【解析】

分析:(1)连接BD.在RtABD中可求得BD的长BDCDBC的长度关系可得DBC为直角三角形DC为斜边由四边形ABCDRtABDRtDBC构成则容易求解

2)根据总费用=面积×单价解答即可

详解:(1)连接BD.在RtABDBD2=AB2+AD2=32+42=52.在CBDCD2=132BC2=122122+52=132BC2+BD2=CD2∴∠DBC=90°,

S四边形ABCD=SBAD+SDBC=ADAB+DBBC=×4×3+×12×5=36.

    (2)需费用36×200=7200(元).

   

点睛本题考查了勾股定理及逆定理的应用通过勾股定理由边与边的关系也可证明直角三角形这样解题较为简单.

组卷:213次
难度:中等
知识点:勾股定理的逆定理
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6.

已知,点P是等边三角形△ABC中一点,线段AP绕点A逆时针旋转60°AQ,连接PQQC

1)求证:PBQC

2)若PA3PB4∠APB150°,求PC的长度.

【答案】

(1)证明见解析;(2)5.

【分析】

(1)直接利用旋转的性质可得AP=AQ,∠PAQ=60°,然后根据SAS证明BAP≌△CAQ结合全等三角形的性质得出答案;

(2)APQ是等边三角形可得AP=PQ=3,∠AQP=60°,由全等的性质可得AQC =∠APB=150°,从而可求PQC=90°,然后根据勾股定理求PC的长即可 .直接利用等边三角形的性质结合勾股定理即可得出答案.

【详解】

(1)证明:线段AP绕点A逆时针旋转60°AQ,

AP=AQ,PAQ=60°,

∴△APQ是等边三角形,PAC+CAQ=60°,

∵△ABC是等边三角形,

∴∠BAP+PAC=60°,AB=AC,

∴∠BAP=CAQ,

BAPCAQ

∴△BAP≌△CAQ(SAS),

PB=QC;

(2)解:由(1)得APQ是等边三角形,

AP=PQ=3,AQP=60°,

∵∠APB=150°,

∴∠PQC=150°﹣60°=90°,

PB=QC,

QC=4,

∴△PQC是直角三角形,

PC==5.

【点睛】

本题考查了旋转的性质,等边三角形的性质与判定,全等三角形的判定与性质,勾股定理 .证明BAP≌△CAQ是解(1)的关键,证明PQC=90°是解(2)的关键 .

组卷:257次
难度:中等
知识点:三角形全等的判定
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7.

如图,一架梯子AB13米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙5米.

1)这个梯子的顶端距地面有多高?

2)如果梯子的顶端下滑了5米,那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米?

【答案】

(1)12;(2)

【分析】

(1)利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度.

(2)由(1)可以得出梯子的初始高度,下滑1米后,可得出梯子的顶端距离地面的高度,再次使用勾股定理,已知梯子的底端距离墙的距离为5米,可以得出,梯子底端水平方向上滑行的距离.

【详解】

解:(1)根据勾股定理:所以梯子距离地面的高度为:AO===12(米);

答:这个梯子的顶端距地面有12米高;

(2)梯子下滑了1米即梯子距离地面的高度为OA′=12﹣5=7(米),根据勾股定理:OB′===2 (米),

BB′=OB′﹣OB=(2﹣5)米

答:当梯子的顶端下滑1米时,梯子的底端水平后移了(2﹣5)米.

【点睛】

本题考查了直角三角形中勾股定理的运用,本题中正确的使用勾股定理求OB′的长度是解题的关键.

组卷:218次
难度:基础
知识点:勾股定理
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8.

如图,在ABC中,C=90°BAC的平分线交BC于点D,点OAB上,以点O为圆心,OA为半径的圆恰好经过点D,分别交ACAB于点EF

1)试判断直线BCO的位置关系,并说明理由;

2)若BD=2BF=2,求阴影部分的面积(结果保留π).

【答案】

1)直线BCO相切,证明见解析;(2

【分析】

1)连接OD,证明ODAC,即可证得ODB=90°,从而证得BC是圆的切线;

2)在直角三角形OBD中,设OF=OD=x,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即为圆的半径,求出圆心角的度数,直角三角形ODB的面积减去扇形DOF面积即可确定出阴影部分面积.

【详解】

解:(1BCO相切.理由如下:

连接ODADBAC的平分线

∴∠BAD=CAD

OD=OA

∴∠OAD=ODA

∴∠CAD=ODA

ODAC

∴∠ODB=C=90°,即ODBC

BC过半径OD的外端点DBCO相切;

2)设OF=OD=x,则OB=OF+BF=x+2

根据勾股定理得:

解得:x=2,即OD=OF=2

OB=2+2=4

RtODB

OD=OB

∴∠B=30°

∴∠DOB=60°

S扇形DOF==

则阴影部分的面积为SODBS扇形DOF==

故阴影部分的面积为

组卷:293次
难度:中等
知识点:勾股定理
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9.

如图,AB的直径,C上一点,DBA延长线上一点,

求证:DC的切线;

线段DF分别交AC,BC于点E,F的半径为5,,求CF的长.

【答案】

证明见解析

【分析】

根据圆周角定理得:,根据同圆的半径相等和已知相等的角代换可得:,可得结论;

先根据三角函数计算,证明,得,设,利用勾股定理列方程可得x的值,证明,列比例式可得CF的长.

【详解】

(1)如图,连接OC,

的直径,

,即

的切线;

中,

中,

【点睛】

本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数等,正确添加辅助线、熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.

组卷:133次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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10.

已知:如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点DBC上,DA⊥CAA.

求:BD的长.

【答案】

 

【分析】

先根据等腰三角形的性质和勾股定理求出AE=6,BD=xDE=8﹣xDC=16﹣x.在RtADERtADC中利用勾股定理得AD2=AE2+DE2=DC2AC2继而代入求出x的值即可.

【详解】

如图,过点AAEBC于点E

AB=AC=10,BC=16,BE=CE=8,

RtACE利用勾股定理可知AE===6,

BD=xDE=8﹣xDC=16﹣x

DACA

RtADERtADC中分别利用勾股定理得AD2=AE2+DE2=DC2AC2

代入为:62+(8﹣x2=(16﹣x2﹣102解得x=

BD=

【点睛】

本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质解题的关键是在RtADERtADC中分别利用勾股定理列出等式AD2=AE2+DE2=DC2AC2

组卷:284次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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11.

如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点EF分别在ABBC上(AEBE),且EOF=90°OEDA的延长线交于点MOFAB的延长线交于点N,连接MN

1)求证:OM=ON

2)若正方形ABCD的边长为4EOM的中点,求MN的长.

【答案】

1见解析;(2MN =2

【分析】

1)证OAM≌△OBN即可得;

2)作OHAD,由正方形的边长为4EOM的中点知OH=HA=2HM=4,再根据勾股定理得OM=2 ,由直角三角形性质知MN=OM=2

【详解】

1四边形ABCD是正方形,

OA=OB∠DAO=45°∠OBA=45°

∴∠OAM=∠OBN=135°

∵∠EOF=90°∠AOB=90°

∴∠AOM=BON

∴△OAM≌△OBNASA),

OM=ON

2)如图,过点OOHAD于点H

正方形的边长为4

OH=HA=2

EOM的中点,

HM=4

OM==2

MN=OM=2

【点睛】

本题主要考查正方形的性质,解题的关键是掌握正方形的四条边都相等,正方形的每条对角线平分一组对角及全等三角形的判定与性质.

组卷:245次
难度:中等
知识点:三角形全等的判定
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12.

如图,△ABC中,∠BAC=900AB=AC,点DBC上一动点,连接AD,过点AAE⊥AD,并且始终保持AE=AD,连接CE.

1)求证:△ABD≌△ACE

2)若AF平分∠DAEBCF,探究线段BDDFFC之间的数量关系,并证明;

3)在(2)的条件下,若BD=6CF=8,求AD的长.

【答案】

1)证明见解析(2BD2+FC2=DF2,证明见解析;(36

【分析】

(1)根据SAS,只要证明1=2即可解决问题

(2)结论BD2+FC2=DF2.连接FE想办法证明ECF=90°,EF=DF利用勾股定理即可解决问题

(3)过点AAGBCG.在RtADG想办法求出AGDG即可解决问题

【详解】

1)AEAD∴∠DAE=DAC+∠2=90°.

∵∠BAC=DAC+∠1=90°,∴∠1=2.在ABDACE中,∴△ABD≌△ACE

(2)结论BD2+FC2=DF2.理由如下

连接FE

∵∠BAC=90°,AB=AC∴∠B=3=45°.

由(1)知ABD≌△ACE∴∠4=B=45°,BD=CE∴∠ECF=3+∠4=90°,CE2+CF2=EF2BD2+FC2=EF2

AF平分DAE∴∠DAF=EAF.在DAFEAF中,∴△DAF≌△EAFDF=EFBD2+FC2=DF2

(3)过点AAGBCG由(2)知DF2=BD2+FC2=62+82=100,DF=10,BC=BD+DF+FC=6+10+8=24.

AB=ACAGBCBG=AG=BC=12,DG=BGBD=12﹣6=6,RtADGAD===6

【点睛】

本题是三角形综合题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题属于中考压轴题

组卷:237次
难度:中等
知识点:勾股定理
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13.

如图,点C△ABD外接圆上的一动点(点C不在上,且不与点B,D重合),∠ACB=∠ABD=45°.

(1)求证:BD是该外接圆的直径;

(2)连结CD,求证:AC=BC+CD;

(3)若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM,连接DM,试探究,三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.

【答案】

1)详见解析;(2)详见解析;(3DM2BM22MA2,理由详见解析.

【详解】

试题分析:(1)易证ABD为等腰直角三角形,即可判定BD是该外接圆的直径;(2)如图所示作CAAE,延长CBAE于点E,再证ACE为等腰直角三角形,可得AC=AE,再由勾股定理即可得;利用SAS判定ABE≌△ADC,可得BE=DC,所以CE=BE+BC,所以CE=DC+BC=;(3)延长MB交圆于点E,连结AE、DE,因BEA=ACB=BMA=45°,在MAE中有MA=AE,MAE=90°,由勾股定理可得 ,再证BED=90°,在RtMED中,有,所以.

试题解析:(1)AB=弧AB,

∴∠ADB=ACB,

∵∠ACB=ABD=45°,

∴∠ABD=ADB=45°,

∴∠BAD=90°,

∴△ABD为等腰直角三角形,

BD是该外接圆的直径,

(2)如图所示作CAAE,延长CBAE于点E

∵∠ACB=45°,CAAE,

∴△ACE为等腰直角三角形,

AC=AE,

由勾股定理可知CE2=AC2+AE2=2AC2,

,

由(1)可知ABD为等腰直角三角形,

AB=AD,BAD=90°,

∵∠EAC=90°,

∴∠EAB+BAC=DAC+BAC,

∴∠EAB=DAC,

ABEADC,

∴△ABE≌△ADC(SAS),

BE=DC ,

CE=BE+BC=DC+BC=,

(3)DM2=BM2+2MA2,

延长MB交圆于点E,连结AE、DE,

∵∠BEA=ACB=BMA=45°,

MAE中有MA=AE,MAE=90°,

,

AC=MA=AE,

,

,

,

,

DE=BC=MB,

BD为直径,

∴∠BED=90°,

RTMED中,有,

.

考点:圆的综合题.

组卷:173次
难度:偏难
知识点:三角形全等的判定
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14.

已知:AB=AC,且AB⊥AC,DBC上,求证:

【答案】

证明见解析

【分析】

AEBCE由于BAC=90°,AB=AC得到BAC是等腰直角三角形再由等腰直角三角形的性质得到BE=AE=EC进而得到BD= AEDEDC= AE+DE代入BD2+CD2计算结合勾股定理即可得到结论

【详解】

AEBCE如图所示.∵AB=AC,且ABAC,∴△BAC是等腰直角三角形.∵AEBC,∴BE=AE=EC,∴BD=BEDE=AEDEDC=EC+DE= AE+DE,∴BD2+CD2= (AEDE2+AE+DE2= AE2+DE2-2AEDE+ AE2+DE2+2AEDE= 2AE2+2DE2= 2(AE2+DE2)=2AD2

【点睛】

本题主要考查勾股定理及等腰直角三角形的性质关键在于得出BD= AEDEDC= AE+DE

组卷:224次
难度:偏难
知识点:勾股定理
查看答案
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15.

如图,已知直线y=﹣2x+4x轴、y轴分别交于点AC,以OAOC为边在第一象限内作长方形OABC

(1)求点AC的坐标;

(2)将ABC对折,使得点A的与点C重合,折痕交AB于点D,求直线CD的解析式(图);

(3)在坐标平面内,是否存在点P(除点B外),使得APCABC全等?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】

(1)A(2,0);C(0,4);(2);(3)存在,P的坐标为(0,0) .

【分析】

1)已知直线y=-2x+4x轴、y轴分别交于点AC,即可求得AC的坐标;

2)根据题意可知△ACD是等腰三角形,算出AD长即可求得D点坐标,最后即可求出CD的解析式;

3)将点P在不同象限进行分类,根据全等三角形的判定方法找出所有全等三角形,找出符合题意的点P的坐标.

【详解】

1)(1)令y=0,则-2x+4=0,解得x=2
A20),
x=0,则y=4
C04);

2)由折叠知:CD=AD.设AD=x,则CD=xBD=4-x

根据题意得:(4-x2+22=x2解得:x=

此时,AD=D(2)

设直线CDy=kx+4,把D(2)代入得=2k+4

解得:k=-

该直线CD解析式为y=-x+4

3当点P与点O重合时,△APC≌△CBA,此时P00

当点P在第一象限时,如图,

△APC≌△CBA∠ACP=∠CAB

则点P在直线CD上.过PPQ⊥AD于点Q

Rt△ADP中,

AD=PD=BD=4-=AP=BC=2

AD×PQ=DP×AP得:PQ=3

∴PQ=

∴xP=2+=

x=代入y=-x+4y=

此时P()

(也可通过Rt△APQ勾股定理求AQ长得到点P的纵坐标)

当点P在第二象限时,如图

同理可求得:CQ=

∴OQ=4-=

此时P(-)

综合得,满足条件的点P有三个,

分别为:P100);P2()P3(-)

考点:一次函数综合题.

组卷:235次
难度:偏难
知识点:一次函数
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16.

已知:在中,

如图1,若点B关于直线DE的对称点为点A,连接AD,试求的周长;

如图2,将直角边AC沿直线AM折叠,使点C恰好落在斜边AB上的点N,且,求CM的长.

【答案】

的周长

【分析】

由轴对称图形的性质可知,则的周长

先求的AB的长,设,然后在中,依据等面积法列出关于x的方程,然后求得x的值即可.

【详解】

依题意,可得:DE垂直平分AB.

的周长

的周长

由题意得:

,则

,解得:

【点睛】

本题主要考查的是翻折的性质、轴对称图形的性质、勾股定理的应用,依据等面积法列出关于x的方程是解题的关键.

组卷:177次
难度:偏难
知识点:勾股定理
查看答案
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17.

如图,将长方形纸片ABCD折叠,使点C与点A重合,折痕EF分别与ABDC交于点E和点F

1)证明:ADF≌△ABE

2)若AD=12DC=18,求AEF的面积.

【答案】

1)证明见解析(278

【解析】

试题分析:(1)利用两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判定.

(2)利用三角形面积公式求解即可.

试题解析:(1)四边形ABCD是矩形,

∴∠D=C=B′=90°,AD=CB=AB′,

∵∠DAF+EAF=90°,B′AE+EAF=90°,

∴∠DAF=B′AE,

ADFAB′E

∴△ADF≌△AB′E.

(2)解:由折叠性质得FA=FC,设FA=FC=x,则DF=DC-FC=18-x,

RtADF中,AD2+DF2=AF2

解得

∵△ADF≌△AB′E,

AE=AF=13.

SAEF===78.

组卷:103次
难度:中等
知识点:三角形全等的判定
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18.

如图,已知AFCD四点在同一条直线上,AF=CDABDE,且AB=DE

1)求证:△ABC≌△DEF

2)若EF=3DE=4DEF=90°,请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度.

【答案】

(1)证明见解析;(2)AF=

【解析】

1)根据SAS进行证明即可;

(2)利用勾股定理分别求出DF、OE、OF即可解决问题.

【详解】(1)ABDE,

∴∠A=D,

AF=CD,

AF+FC=CD+FC,

AC=DF,

AB=DE,

∴△ABC≌△DEF;

(2)如图,连接ABADO,

RtEFD中,∵∠DEF=90°,EF=3,DE=4,

DF==5,

四边形EFBC是菱形,

BECF,EO=

OF=OC=

CF=

AF=CD=DF﹣FC=5﹣=

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理等,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题.

组卷:221次
难度:中等
知识点:勾股定理
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19.

如图,有一个直角三角形纸片,两直角边cm cm,现将直角边沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?

【答案】

CD的长为3cm.

【分析】

首先由勾股定理求得AB=10,然后由翻折的性质求得BE=4,设DC=x,则BD=8-x,在BDE中,利用勾股定理列方程求解即可.

【详解】

解:在Rt三角形中,由勾股定理可知:

由折叠的性质可知:DC=DEAC=AEDEA=C
BE=AB-AE=10-6=4DEB=90°
DC=x,则BD=8-x
RtBDE中,由勾股定理得:BE2+ED2=BD2,即42+x2=8-x2
解得:x=3
CD=3

【点睛】

本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用,利用翻折的性质和勾股定理表示出DBE的三边长是解题的关键.

组卷:294次
难度:中等
知识点:勾股定理
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20.

如图,A城气象台测得台风中心在A城正西方向600kmB处,以每小时200km的速度向北偏东60°的方向移动,距台风中心500km的范围内是受台风影响的区域.

1A城是否受到这次台风的影响?为什么?

2)若A城受到这次台风的影响,那么A城遭受这次台风影响有多长时间?

【答案】

1A城受到台风的影响;(24.

【解析】

1)点到直线的线段中垂线段最短,故应由A点向BC作垂线,垂足为M,若AM500A城不受影响,否则受影响;

2)点A到直线BC的长为500千米的点有两点,分别设为DG,则ADG是等腰三角形,由于AMBC,则MDG的中点,在RtADM中,解出MD的长,则可求DG长,在DG长的范围内都是受台风影响,再根据速度与距离的关系则可求时间.

【详解】

解:

1A城受到这次台风的影响,

理由:由A点向BC作垂线,垂足为M

RtABM中,ABM=30°AB=600km,则AM=300km

因为300500,所以A城要受台风影响;

2)设BC上点DDA=500千米,则还有一点G,有

AG=500千米.

因为DA=AG,所以ADG是等腰三角形,

因为AMBC,所以AMDG的垂直平分线,MD=GM

RtADM中,DA=500千米,AM=300千米,

由勾股定理得,MD==400(千米),

DG=2DM=800千米,

遭受台风影响的时间是:t=800÷200=4(小时),

答:A城遭受这次台风影响时间为4小时.

【点睛】

此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离=速度×时间等,构造出直角三角形是解题关键.

组卷:128次
难度:偏难
知识点:勾股定理单元测试
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组卷/试题篮
21.

如图,△ABC中,AB=AC∠BAC=90°,点DE分别在ABBC上,∠EAD=∠EDA,点FDE的延长线与AC的延长线的交点.

1)求证:DE=EF

2)判断BDCF的数量关系,并说明理由;

3)若AB=3AE=,求BD的长.

【答案】

1)证明见解析;(2证明见解析;(3BD=1.

【分析】

1)先根据等角对等边得出EA=ED,再在RtADF中根据直角三角形的两锐角互余和等角的余角相等得出EAC=F,得出EA=EF,等量代换即可解决问题;

2)结论:BD=CF.如图2中,在BE上取一点M,使得ME=CE,连接DM.想办法证明DM=CFDM=BD即可;

3)如图3中,过点EENADAD于点N.设BD=x,则DN=DE=AE=,由B=45°ENBN.推出EN=BN=x+=,在RtDEN中,根据DN2+NE2=DE2,构建方程即可解决问题.

【详解】

1)证明:如图1中,

2)解:结论:

理由:如图2中,在上取一点,使得,连接

3)如图3中,过点于点

,则

中,

解得(舍弃)

【点睛】

本题是一道三角形综合题,主要考查了等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.

组卷:103次
难度:中等
知识点:三角形全等的判定
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组卷/试题篮
22.

如图,矩形ABCD的对角线ACBD相交于点O,点EFBD上,BE=DF

1)求证:AE=CF

2)若AB=6∠COD=60°,求矩形ABCD的面积.

【答案】

【分析】

1)由矩形的性质得出OA=OCOB=ODAC=BD∠ABC=90°,证出OE=OF,由SAS证明△AOE≌△COF,即可得出AE=CF

2)证出△AOB是等边三角形,得出OA=AB=6AC=2OA=12,在Rt△ABC中,由勾股定理求出BC的长,即可得出矩形ABCD的面积.

【详解】

1)证明:四边形ABCD是矩形,

∴OA=OCOB=ODAC=BD∠ABC=90°

∵BE=DF∴OE=OF

△AOE△COF中,∵OA=OC∠AOE=∠COFOE=OF

∴△AOE≌△COFSAS),∴AE=CF

2)解:∵OA=OCOB=ODAC=BD

∴OA=OB

∵∠AOB=∠COD=60°

∴△AOB是等边三角形,∴OA=AB=6

∴AC=2OA=12

Rt△ABC中,BC==6

矩形ABCD的面积=AB•BC=6×6=36

组卷:176次
难度:中等
知识点:等腰三角形
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组卷/试题篮
23.

如图,ABO的直径,弦CDAB,垂足为H,连接AC,过上一点EEGACCD的延长线于点G,连接AECD于点F,且EGFG,连接CE

(1)求证:EGO的切线;

(2)延长ABGE的延长线于点M,若AH3CH4,求EM的值.

【答案】

证明见解析

【分析】

连接OE,由,由,根据,从而得出,即可得证;

连接OC,设,再中利用勾股定理求得,再证,据此求解可得.

【详解】

如图,连接OE,

的切线;

连接OC,设的半径为r,

解得:

,即

解得:

【点睛】

本题主要考查切线的判定与性质,解题的关键是掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质、勾股定理及相似三角形的判定与性质.

组卷:250次
难度:中等
知识点:等腰三角形
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24.

如图,O的直径AB10cm,弦BC5cmDE分别是ACB的平分线与OAB的交点,PAB延长线上一点,且PCPE

1)求ACAD的长;

2)试判断直线PCO的位置关系,并说明理由.

【答案】

1AC=5AD=5;(2)直线PCO相切

【分析】

(1)、连接BD,根据AB为直径,则ACB=ADB=90°,根据RtABC的勾股定理求出AC的长度,根据CD平分ACB得出RtABD是等腰直角三角形,从而得出AD的长度;(2)、连接OC,根据OA=OC得出CAO=OCA,根据PC=PE得出PCE=PEC,然后结合CD平分ACB得出ACE=ECB,从而得出PCB=ACO,根据ACB=90°得出OCP=90°,从而说明切线.

【详解】

解:(1)如图,连接BD AB是直径

∴∠ACB=ADB=90°

RTABC中,AC=

②∵CD平分ACB AD=BDRtABD是直角等腰三角形

AD=AB=×10=5cm

(2)、直线PCO相切,

理由:连接OC OC=OA

∴∠CAO=OCA

PC=PE

∴∠PCE=PEC

∵∠PEC=CAE+ACE

CD平分ACB

∴∠ACE=ECB

∴∠PCB=ACO

∵∠ACB=90°

∴∠OCP=OCB+PCB=ACO+OCB=ACB=90° OCPC

直线PCO相切.

考点:(1)、勾股定理;(2)、直线与圆的位置关系.

组卷:117次
难度:中等
知识点:勾股定理
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25.

中华人民共和国道路交通管理条例规定:小汽车在城街路上行驶速度不得超过km/h.如图,一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方m处,过了2s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为m,这辆小汽车超速了吗?

【答案】

见解析

【分析】

本题求小汽车是否超速,其实就是求BC的距离,直角三角形ABC中,有斜边AB的长,有直角边AC的长,那么BC的长就很容易求得,根据小汽车用2s行驶的路程为BC,那么可求出小汽车的速度,然后再判断是否超速了.

【详解】

解:在RtABC中,AC=30mAB=50m
据勾股定理可得:
BC=40m
小汽车的速度为v==20m/s=20×3.6km/h=72km/h);
72km/h)>70km/h);
这辆小汽车超速行驶.
答:这辆小汽车超速了.

【点睛】

本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题,可把条件和问题放到直角三角形中,进行解决,要注意题目中单位的统一.

组卷:284次
难度:中等
知识点:勾股定理
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26.

如图,在ABC中,AB3AC4BC5P为边BC上一动点,PEABEPFACFMEF中点,求AM的最小值.

【答案】

AM的最小值是1.2.

【解析】

根据勾股定理的逆定理可以证明;根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,则,要求的最小值,即求的最小值;根据三个角都是直角的四边形是矩形,得四边形是矩形,根据矩形的对角线相等,得,则的最小值即为的最小值,根据垂线段最短,知:的最小值即等于直角三角形斜边上的高.

【详解】

ABC中,AB3AC4BC5

AB2+AC2BC2,即BAC90°

PEABEPFACF

四边形AEPF是矩形,

EFAP

MEF的中点,

APBC时,AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高

AM的最小值是

【点睛】

考查了勾股定理的逆定理,本题综合运用了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质、直角三角形的性质,要能够把要求的线段的最小值转换为便于分析其最小值的线段.

组卷:172次
难度:偏难
知识点:勾股定理的逆定理
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27.

(1)问题发现:如图1,ABCCDE均为等腰直角三角形,ACB=DCE=90°,则线段AE、BD的数量关系为_______,AE、BD所在直线的位置关系为________;

       

(2)深入探究:在(1)的条件下,若点A,E,D在同一直线上,CMDCEDE边上的高,请判断ADB的度数及线段CM,AD,BD之间的数量关系,并说明理由;

(3)解决问题:如图3,已知ABC中,AB=7,BC=3,ABC=45°,以AC为直角边作等腰直角ACD,CAD=90°,AC=AD,连接BD,则的长为             

【答案】

1)相等,垂直;(2)AD=2CM+BD;(3)7﹣3

【分析】

(1)结论:AEBDAEBD.如图1中,延长AEBD于点HAHBC于点O.只要证明ACE≌△BCDSAS),即可解决问题;

(2)结论:AD=2CM+BD,只要证明ACE≌△BCDSAS),即可解决问题;

(3)分两种情形分别画出图形,构造全等三角形解决问题即可;

【详解】

(1)结论:AEBDAEBD

理由:如图1中,延长AEBD于点HAHBC于点O

∵△ACBDCE均为等腰直角三角形,

ACB=∠DCE=90°,

ACBCCDCE

∴∠ACE=∠BCD

∴△ACE≌△BCDSAS),

AEBD,∠CAE=∠CBD

∵∠CAE+∠AOC=90°,∠AOC=∠BOH

∴∠BOH+∠CBD=90°

∴∠AHB=90°,

AEBD

故答案是:AEBDAEBD

(2)结论:AD=2CM+BD

理由:如图2中,

∵△ACBDCE均为等腰直角三角形,

ACB=∠DCE=90°,

ACBCCDCE

∴∠ACE=∠BCD

∴△ACE≌△BCDSAS),

AEBD,∠BDC=∠AEC=135°.

∴∠ADB=∠BDC﹣∠CDE=135°﹣45°=90°;

在等腰直角三角形DCE中,CM为斜边DE上的高,

CMDMME

DE=2CM

ADDE+AE=2CM+BD

(3)情形1:如图3﹣1中,在ABC的外部,以A为直角顶点作等腰直角BAE,使BAE=90°,AEAB,连接EAEBEC

∵∠ACD=∠ADC=45°,

ACAD,∠CAD=90°,

∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC,即EAC=∠BAD

∴△EAC≌△BADSAS),

BDCE

AEAB=7,

BE,∠ABE=∠AEB=45°,

∵∠ABC=45°,

∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°,

EC

BDCE

情形2:如图3﹣2中,作AEABBC的延长线于E,则ABE是等腰直角三角形,

同法可证:EAC≌△BADSAS),

BDCE

ABAE=7,

BE=7

ECBECB=7﹣3,

综上所述,BD的长为7﹣3.

【点睛】

考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.

组卷:109次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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28.

某住宅小区有一块草坪如图所示.已知AB3米,BC4米,CD12米,DA13米,且ABBC,求这块草坪的面积.

【答案】

36平方米

【分析】

连接AC根据勾股定理求得AC再根据勾股定理的逆定理判断三角形ACD是直角三角形.这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和

【详解】

连接AC,如图,ABBC∴∠ABC=90°.

AB=3BC=4AC=5

CD=12DA=13CD2+AC2=144+25=169=132=DA2∴∠ACD=90°,∴△ACD为直角三角形草坪的面积等于=SABC+SACD=3×4÷2+5×12÷2=6+30=36(2).

【点睛】

本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理

组卷:243次
难度:偏难
知识点:勾股定理
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29.

在直角梯形ABCD中,ABCDBCD=90°AB=AD=10cmBC=8cm。点P从点A出发,以每秒3cm的速度沿折线ABCD运动,点Q从点D出发,以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动。已知动点PQ同时出发,当点Q运动到点C时,PQ运动停止,设运动时间为t.

1)求CD的长.

2t为何值时?四边形PBQD为平行四边形.

3)在点P,点Q的运动过程中,是否存在某一时刻,使得△BPQ的面积为20cm2?若存在,请求出所有满足条件的t的值;若不存在,请说明理由.

【答案】

116;(2;(3.

【解析】试题分析:(1)过点AAM⊥CDM,四边形AMCB是矩形,AM=BC,AD是已知的,根据勾股定理求出DM,CM=AB,所以CD就求出来了;(2)当四边形PBQD为平行四边形时,PAB上,点QDC上,用t表示出BP,DQ的长,满足BP=DQ,求出t值,则BP,DQ即可求出,然后求出CQ,用勾股定理求出BQ,四边形PBQD的周长就求出来了;(3DQC需要8秒,所以t的范围是0≤t≤8,Q根据P所在线段不同,分三种情况讨论,即当点P在线段AB上时,即时,用t表示出BP的长,列三角形BPQ的面积等于20的方程求解;当点P在线段BC上时,即时,用t表示出BP,CQ的长,建立三角形BPQ的面积等于20的方程求解;当点P在线段CD上时,因为他们相遇的时间是,若点PQ的右侧,即6≤t≤,用t表示出PQ的长,进而列出面积方程式求解;若点PQ的左侧,即,用t表示出PQ的长,列出面积方程式求解.

试题解析:(1)过点AAM⊥CDM,根据勾股定理,AD=10AM=BC=8∴DM==6∴CD=16;(2)当四边形PBQD为平行四边形时,点PAB上,点QDC上,如图,由题知:AP=3t,BP=103tDQ=2t∴103t=2t,解得t=2,此时,BP=DQ=4CQ=12四边形PBQD的周长=2BP+BQ=

3当点P在线段AB上时,到B点时是秒,即时,如图,BP=103tBC=8

当点P在线段BC上时,P到达Ct值时6秒,即时,如图,BP=AB+BP-AB=3t10DQ=2t,CQ=162t,化简得:3t234t+100=0△=440,所以方程无实数解.此种情况不存在三角形BPQ的面积是20

当点P在线段CD上时,P点与Q点相遇时,可列2t+3t=10+8+16,t=,相遇时间是,若点PQ的右侧,即6≤t≤,则有PQ=34-2t+3t=345t,于是,解此方程得:

6,舍去,若点PQ的左侧,即,则有PQ=2t+3t-34=5t34,可列方程:,解得:t=78综合得出满足条件的t值存在,其值分别为t2=78

考点:1.动点问题;2.分类讨论三角形面积;3.梯形,矩形与三角形综合知识..

组卷:297次
难度:很难
知识点:一元二次方程
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30.

在杭州西湖风景游船处,如图,在离水面高度为5m的岸上,有人用绳子拉船靠岸,开始时绳子BC的长为13m,此人以0.5m/s的速度收绳.10s后船移动到点D的位置,问船向岸边移动了多少m?(假设绳子是直的,结果保留根号)

【答案】

【分析】

RtABC中,利用勾股定理计算出AB长,再根据题意可得CD长,然后再次利用勾股定理计算出AD长,再利用BD=AB-AD可得BD长.

【详解】

解:RtABC中,CAB=90°BC=13mAC=5m

AB12 m),

此人以0.5m/s的速度收绳,10s后船移动到点D的位置,

CD=130.5×10=8m),

ADm),

BDAB−AD(12−)(m

答:船向岸边移动了(12−m

【点睛】

本题考查勾股定理的应用,关键是掌握从题中抽象出勾股定理这一数学模型,画出准确的示意图.领会数形结合的思想的应用.

组卷:153次
难度:中等
知识点:勾股定理
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31.

(1)如图1,△ABC中,BAC=90°,AB=AC,D,EBC上,DAE=45°,为了探究BD,DE,CE之间的等量关系,现将AECA顺时针旋转90°后成AFB,连接DF,经探究,你所得到的BD,DE,CE之间的等量关系式是         ;(无须证明)

(2)如图2,在ABC中,BAC=120°,AB=AC,D,EBC上,DAE=60°,∠ADE=45°,试仿照(1)的方法,利用图形的旋转变换,探究BD,DE,CE之间的等量关系,并证明你的结论.

      

【答案】

(1) BD2+CE2=DE2; (2) BD2+DE2=CE2证明见解析.

【解析】

(1)AECA顺时针旋转90°后成AFB,可证AEC≌△AFB,故BF=CE,旋转角FAE=90°,又DAE=45°,故FAD=FAE−DAE=45°,易证AFD≌△AED,故FD=DE,因为ABC中,BAC=90°,AB=AC,所以ABC=FAB=45°,从而可得FAD=90°,在RtFBD中,由勾股定理得线段BD、DE、CE之间的等量关系式;

(2)方法同(1),由ADE=45°可得ADF=45°,故BDF=90°,斜边BF=CE,直角边DF=DE,由勾股定理建立等量关系.

【详解】

(1) BD2+CE2=DE2

 (2)CE2=BD2+DE2.

证明:将AEC绕点A顺时针旋转120 °得到AFB,连接FD.

由旋转的性质可得AEC≌△AFB,AF=AE,BF=CE,FAB=EAC.

∴∠FAE=FAB+BAE=EAC+BAE=BAC=120 °.

∵∠DAE=60 °,

∴∠FAD=EAD=60 °.

 

ADFADE中,

∴△ADF≌△ADE(SAS).

FD=DE,ADF=ADE.

∵∠ADE=45 °,

∴∠ADF=45 °,故BDF=90 °.

RtBDF中,由勾股定理,得BF2=BD2+DF2.

CE2=BD2+DE2.

【点睛】

本题考查了旋转的性质,全等三角形的证明及勾股定理的运用.

组卷:142次
难度:偏难
知识点:三角形全等的判定
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32.

如图,四边形 ABCD 中,C=90°,BD 平分ABC,AD=3,E AB 上一点,AE=4,ED=5,求 CD的长.

【答案】

CD=3.

【解析】

分析:根据勾股定理的逆定理证明.根据角平分线的性质即可求的长.

详解:

.  

.  

.    

.

平分

.

.

点睛:考查勾股定理的逆定理以及角平分线的性质,掌握角平分线的性质是解题的关键.

组卷:271次
难度:中等
知识点:角的平分线的性质
查看答案
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组卷/试题篮
33.

已知:如图,四边形ABCD中,B=90°,AB3BC4CD12AD13,求四边形ABCD的面积?

【答案】

36

【分析】

连接AC,根据勾股定理可求AC,再利用勾股定理逆定理可判定ACD为直接三角形,进而可求答案.

【详解】

解:连结AC,RtABC

ADC

∴△ADC是直角三角形, ∠ACD=90°            

【点睛】

本题考查的是勾股定理和勾股定理的逆定理,能够灵活运用所学知识是解题的关键.

组卷:206次
难度:中等
知识点:勾股定理
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组卷/试题篮
34.

如图,在矩形ABCD中,BD的垂直平分线分别交ABCDBDEFO,连接DEBF

1)求证:四边形BEDF是菱形;

2)若AB8cmBC4cm,求四边形DEBF的面积.

【答案】

1)证明见解析;(220cm2

【解析】

(1)先证明BOE≌△DOF,得出EOFO,且OBOD,再根据EF垂直平分BD,可得出四边形BEDF为菱形;

(2) 由菱形的性质知BEDE,在Rt△ADE中,根据DE2AE2+DA2列式求解即可.

【详解】

证明:(1四边形ABCD是矩形,OBD的中点,

∴∠A90°ADBC4ABDCOBOD

∴∠OBEODF

BOEDOF中,

∴△BOE≌△DOFASA),

EOFO,且OBOD

四边形BEDF是平行四边形,

EF垂直平分BD

BEDE

四边形BEDF是菱形

2四边形BEDF是菱形

BEDE

RtADE中,DE2AE2+DA2

BE2=(8BE2+16

BE5

四边形DEBF的面积=BE×AD20cm2

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的性质以及面积的求法等知识,熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键.

组卷:197次
难度:中等
知识点:勾股定理
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组卷/试题篮
35.

如图,在四边形ABCD中,BC90°ABCDADAB+CD

1)利用尺规作ADC的平分线DE,交BC于点E,连接AE(保留作图痕迹,不写作法);

2)在(1)的条件下,证明:AEDE

CD2AB4,点MN分别是AEAB上的动点,求BM+MN的最小值.

【答案】

1)答案见解析;(2证明见解析;

【解析】

(1)利用尺规作出ADC的角平分线即可;

(2)延长DEAB的延长线于F.只要证明AD=AF,DE=EF,利用等腰三角形三线合一的性质即可解决问题;作点B关于AE的对称点K,连接EK,作KHABH,DGABG.连接MK.由MB=MK,推出MB+MN=KM+MN,根据垂线段最短可知:当K、M、N共线,且与KH重合时,KM+MN的值最小,最小值为KH的长.

【详解】

(1)如图,ADC的平分线DE如图所示,

(2)延长DEAB的延长线于F,

CDAF,

∴∠CDE=F,

∵∠CDE=ADE,

∴∠ADF=F,

AD=AF,

AD=AB+CD=AB+BF,

CD=BF,

∵∠DEC=BEF,

∴△DEC≌△FEB,

DE=EF,

AD=AF,

AEDE;

作点B关于AE的对称点K,连接EK,作KHABH,DGABG.连接MK,

AD=AF,DE=EF,

AE平分DAF,则AEK≌△AEB,

AK=AB=4,

RtADG中,DG

KHDG,

KH

MB=MK,

MB+MN=KM+MN,

K、M、N共线,且与KH重合时,KM+MN的值最小,最小值为KH的长,BM+MN的最小值为

【点睛】

本题考查作图-基本作图,轴对称最短问题,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用轴对称解决最短问题,属于中考常考题型.

组卷:222次
难度:中等
知识点:勾股定理
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试卷统计
试题总数:
100
总体难度:
偏难
题型统计
大题类型
题目数
占比
选择题
40
40.0%
填空题
25
25.0%
解答题
35
35.0%
知识点统计
知识点
题目数
占比
勾股定理
63
63.0%
全等三角形
3
3.0%
勾股定理的逆定理
6
6.0%
等腰三角形
6
6.0%
课题学习 最短路径问题
2
2.0%
平面直角坐标系
3
3.0%
实数
1
1.0%
角的平分线的性质
2
2.0%
三角形全等的判定
8
8.0%
勾股定理单元测试
2
2.0%
直射、射线、线段
1
1.0%
解一元二次方程
1
1.0%
一次函数
1
1.0%
一元二次方程
1
1.0%
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