将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中,点,点,点E,F分别在边,上.沿着折叠该纸片,使得点A落在边上,对应点为,如图①.再沿折叠,这时点E恰好与点C重合,如图②.
(Ⅰ)求点C的坐标;
(Ⅱ)将该矩形纸片展开,再折叠该矩形纸片,使点O与点F重合,折痕与相交于点P,展开矩形纸片,如图③.
①求的大小;
②点M,N分别为,上的动点,当取得最小值时,求点N的坐标(直接写出结果即可).
(Ⅰ)(Ⅱ)①,②
【分析】
(Ⅰ)由翻折的性质可知,,,再由正方形的性质和勾股定理可得OE,继而即可求解;
(Ⅱ)①连接,由题意和(Ⅰ)可知,而,,由等角对等边可知,,设,则,然后根据翻折的性质可知即,把x代入列出方程,解方程求出,根据相似三角形的判定可证, ,再根据相似三角形的对应角相等和三角形内角和即可求解;
②利用角平分线上的点到角两边的距离相等这一性质可判断M、N的位置,进而根据题意即可求解.
【详解】
解:(Ⅰ)∵点,∴.
由两次折叠可知,,.
∴是正方形.∴.
在中,.
∴点C的坐标为.
(Ⅱ)①如图③,连接,由和(Ⅰ)可知,
,而,
,
故,.
设,则,
由即,
得,解得.
所以.则有.
得.又,则,
即.
②如图④所示,过点P作⊥OC于点,交OF于点M,作关于OF的对称点N,连接MN,此时取得最小值时,且,
过点N作NG⊥x轴于点G,
∵由(Ⅱ)知,∠AOE=45°,
∴∠NOG=90°-45°=45°
∴OG=NG=.
∴.
【点睛】
本题主要考查几何变换的综合题,涉及到翻折的性质、勾股定理、相似三角形的判定及其性质、角平分线的性质等知识点,熟练运用所学知识是解题的关键.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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