将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中,点点点是边上的一点(点不与点重合),沿着折叠该纸片,得点的对应点.
(1)如图①,当点落在边上时,求点的坐标;
(2)若点落在边的上方,与分别与边交于点.
①如图②,当时,求点的坐标;
②当时,求点的坐标(直接写出结果即可).
(1)点的坐标为;(2)①,②(,6).
【分析】
(1)根据矩形和折叠性质可知,,然后利用勾股定理求得,从而求得,由此确定点的坐标;
(2)①根据折叠的性质求得,然后解直角三角形求得,CD=,从而确定D点坐标;
②根据角边角定理证得△CPD≌△,从而求得,然后设P(0,m),则,, ,,利用勾股定理列方程求得m的值,从而求得,设CD=x,则,再用勾股定理列方程求x的值,从而求得D点坐标.
【详解】
解:(1)∵点,点为矩形,
根据题意,由折叠可知
在中,
点的坐标为
(2)①,
,
,
∴在Rt△AOP中,
在Rt△CPD中,,
∴CD=
∴D点坐标为(,6)
②当时,
∵,
∴△CPD≌△
∴DE=DP
∴
设P(0,m),则,,
∴
∴在Rt△ABE中,,解得:m=
∴
设CD=x,则
∴在Rt△CPD中,,解得
∴D点坐标为(,6).
【点睛】
本题考查矩形与折叠,勾股定理解直角三角形,掌握折叠的性质,利用勾股定理列方程求解是解题关键.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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