如图①,以矩形OABC的顶点O为原点,OA所在的直线为x轴,OC所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,已知OA=3,OC=2,点E是AB的中点,在OA上取一点D,将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处.
(Ⅰ)直接写出点E、F的坐标;
(Ⅱ)如图②,若点P是线段DA上的一个动点,过P作PH⊥DB于H点,设OP的长为x,△DPH的面积为S,试用关于x的代数式表示S;
(Ⅲ)如图③,在x轴、y轴上是否分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小？如果存在,求出周长的最小值.(直接写出结果即可)
第6题图
答案
解:(Ⅰ)由题意可求,AE=1,CF=1,
故:E(3,1),F(1,2);
(Ⅱ)∵将△BDA沿BD翻折,使点A落在BC边上的点F处,
∴BF=AB=2,
∴OD=CF=3－2=1,
若设OP的长为x,
则PD=x－1,
在Rt△ABD中,AB=2,AD=2,
∴∠ADB=45°,
在Rt△PDH中,PH=DH=DP×
=(x－1),
∴S=
×DH×PH=×(x－1)×(x－1)=
－
＋
;
(Ⅲ)如解图,作点F关于y轴的对称点F′,点E关于x轴的对称点E′,连接E′F′交y轴于点N,交x轴于点M,此时四边形MNFE的周长最小,
可求,点F(1,2)关于y轴的对称点F′(－1,2),点E(3,1)关于x轴的对称点E′(3,－1),
用两点法可求直线E′F′的解析式为:y=−
,
当x=0时,y=
,当y=0时,x=
,∴N(0,),M(,0),
此时,四边形MNFE的周长=E′F′＋EF=
＋
=5＋
;
∴在x轴、y轴上分别存在点M、N,使得四边形MNFE的周长最小,最小为:5＋.
