在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．

（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；

（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF²=ME²+NF²．

答案

【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【分析】（1）由旋转的性质得出AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠BAG=∠DAF，证出∠GAE═∠EAF，由SAS即可得出△AEG≌△AEF；

（2）连接GM，由正方形的性质和已知条件得出BE=DF，得出BG=DF=BE=BF，得出∠BMG=45°，因此∠EMG=90°，由勾股定理得出EG²=MG²+ME²=NF²+ME²，再由EG=EF，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，

∴AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠BAG=∠DAF，

∵∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=∠BAE+∠BAG=90°﹣45°=45°，

即∠GAE=∠EAF，

∴在△AEG和△AEF中，，

∴△AEG≌△AEF（SAS）；

（2）证明：连接G，如图所示：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠C=90°，

∵∠CEF=45°

∴CE=CF，DF=DN，BM=BE，

∵BC=CD，

∴BE=DF，

∵BG=DF，

∴BG=DF=BE=BF，

∴∠BMG=45°，

∵∠EMB=45°，

∴∠EMG=90°，

∴EG²=MG²+ME²=NF²+ME²，

∵△AEG≌△AEF，∴EG=EF，

∴EF²=ME²+NF²．

【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．