如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠ABC=90°,且AD=CD.将梯形ABCD沿对角线BD折叠,点A恰好落在CD边的点F上,延长BF交AD延长线于点E,连接EC.
(1)求证:△DEF≌△CBF;
(2)判断四边形BCED是什么特殊四边形?说明理由;
(3)求∠ADC的度数.(直接写结论,不用证明)
【考点】四边形综合题.
【分析】(1)利用折叠和AD=CD,得出DF=CF,利用ASA得出△DEF≌△CBF;
(2)先利用DF=FC,EF=BF,得出四边形BCED是平行四边形,再进一步证明△DBF≌△CFE,得出DB=DE,证得四边形BCED是菱形;
(3)利用折叠得出∠ADB=∠CDB,利用菱形得出∠CDB=∠CDE,由此得出∠ADB=∠CDB=∠CDE=60°,得出∠ADC=120°.
【解答】(1)证明:∵梯形ABCD沿对角线BD折叠,点A恰好落在CD边的点F上,
∴∠DFB=∠A=90°,AD=DF,
∵AD=CD,
∴DF=CD,
∴DF=CF,
∵AD∥BC,
∴∠FDE=∠FCB,
在△DEF和△CBF中,
∴△DEF≌△CBF;
(2)四边形BCED是菱形.
理由:∵△DEF≌△CBF,
∴DF=FC,EF=BF,
∴四边形BCED平行四边形,
在△DBF和△CFE中,
∴△DBF≌△CFE,
∴DB=DE,
∴四边形BCED是菱形.
(3)∠ADC=120°.
∵折叠,
∴∠ADB=∠CDB,
∵四边形BCED是菱形,
∴∠CDB=∠CDE,
∴∠ADB=∠CDB=∠CDE=60°,
∴∠ADC=120°.
【点评】此题综合考查三角形全等的判定与性质,折叠的性质,菱形的判定,注意已知条件与所求问题之间的联系,灵活运用知识之间的联系解决问题.
矩形的性质:
1.矩形的4个内角都是直角;
2.矩形的对角线相等且互相平分;
3.矩形所在平面内任一点到其两对角线端点的距离的平方和相等;
4.矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形(对称轴是任何一组对边中点的连线),它至少有两条对称轴。对称中心是对角线的交点。
5.矩形是特殊的平行四边形,矩形具有平行四边形的所有性质
6.顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
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