如图,在平面直角坐标系中,抛物线与
轴正半轴交于点
,且点
的坐标为
,过点
作垂直于
轴的直线
.
是该抛物线上的任意一点,其横坐标为
,过点
作
于点
;
是直线
上的一点,其纵坐标为
,以
,
为边作矩形
.
(1)求的值.
(2)当点与点
重合时,求
的值.
(3)当矩形是正方形,且抛物线的顶点在该正方形内部时,求
的值.
(4)当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值
随
的增大而减小时,直接写出
的取值范围.
(1);(2)
;(3)
;(4)
或
.
【解析】
(1)将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值;
(2)分别表示出P、Q、M的坐标,根据Q、M的横坐标相同,它们重合时纵坐标也相同,列出方程求解即可;
(3)分别表示出PQ和MQ的长度,根据矩形是正方形时
,即可求得m的值,再根据顶点在正方形内部,排除不符合条件的m的值;
(4)分,
,
,
四种情况讨论,结合图形分析即可.
【详解】
解:(1)将点代入
得,
解得b=1,;
(2)由(1)可得函数的解析式为,
∴,
∵于点
,
∴,
∵是直线
上的一点,其纵坐标为
,
∴,
若点与点
重合,则
,
解得;
(3)由(2)可得,
,
当矩形是正方形时,
即,
即或
,
解得
,
解得
,
又,
∴抛物线的顶点为(1,2),
∵抛物线的顶点在该正方形内部,
∴P点在抛物线对称轴左侧,即,且M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标,即
,
解得,故m的值为
;
(4)①如下图
当时,若抛物线在矩形
内的部分所对应的函数值
随
的增大而减小,
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标,且P点应该在x轴上侧,
即且
,
解得
,
解得
,
∴,
②如下图
当时,若抛物线在矩形
内的部分所对应的函数值
随
的增大而减小,
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标,
即,解得
,
∴;
③当时,P点和M点都在直线x=3上不构成矩形,不符合题意;
④如下图
当时,若抛物线在矩形
内的部分所对应的函数值
随
的增大而减小,
则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标,
即,解得
或
,
故,
综上所述或
.
【点睛】
本题考查二次函数综合,正方形的性质定理,求二次函数解析式.能分别表示出M、P、Q的坐标并结合图形分析是解决此题的关键,注意分类讨论.
某种机器工作前先将空油箱加满,然后停止加油立即开始工作,当停止工作时,油箱中油量为.在整个过程中,油箱里的油量
(单位:
)与时间
(单位:
)之间的关系如图所示.
(1)机器每分钟加油量为_____,机器工作的过程中每分钟耗油量为_____
.
(2)求机器工作时关于
的函数解析式,并写出自变量
的取值范围.
(3)直接写出油箱中油量为油箱容积的一半时的值.
(1)3,;(2)
,
;(3)5或40.
【解析】
(1)根据加油量为
即可得;根据
时剩余油量为
即可得;
(2)根据函数图象,直接利用待定系数法即可得;
(3)先求出机器加油过程中的关于
的函数解析式,再求出
时,两个函数对应的x的值即可.
【详解】
(1)由函数图象得:机器每分钟加油量为
机器工作的过程中每分钟耗油量为
故答案为:3,;
(2)由函数图象得:当时,机器油箱加满,并开始工作;当
时,机器停止工作
则自变量的取值范围为
,且机器工作时的函数图象经过点
设机器工作时关于
的函数解析式
将点代入得:
解得
则机器工作时关于
的函数解析式
;
(3)设机器加油过程中的关于
的函数解析式
将点代入得:
解得
则机器加油过程中的关于
的函数解析式
油箱中油量为油箱容积的一半时,有以下两种情况:
①在机器加油过程中
当时,
,解得
②在机器工作过程中
当时,
,解得
综上,油箱中油量为油箱容积的一半时的值为5或40.
【点睛】
本题考查了函数图象、利用待定系数法求一次函数和正比例函数的解析式等知识点,从函数图象中正确获取信息是解题关键.
年
月线上授课期间,小莹、小静和小新为了解所在学校九年级
名学生居家减压方式情况,对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查,将居家减压方式分为
(享受美食)、
(交流谈心)、
(室内体育活动)、
(听音乐)和
(其他方式)五类,要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式.他们将收集的数据进行了整理,绘制的统计表分别为表1、表2和表3.
表1:小莹抽取名男生居家减压方式统计表(单位:人)
减压方式 | | | | | |
人数 | | | | | |
表2:小静随机抽取名学生居家减压方式统计表(单位:人)
减压方式 | | | | | |
人数 | | | | | |
表3:小新随机抽取名学生居家减压方式统计表(单位:人)
减压方式 | | | | | |
人数 | | | | | |
根据以上材料,回答下列问题:
(1)小莹、小静和小新三人中,哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况,并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.
(2)根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果,估计该校九年级名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数.
(1)小新抽样调查所得的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况;小莹抽取名男生居家减压方式统计,没有随机抽样,而且只抽取男生,样本没有代表性;小静随机抽取
名学生居家减压方式统计,样本容量太小,也没有代表性;(2)260人
【解析】
(1)根据抽样调查的要求,所抽样本必须具有代表性,要保证所有个体都有相同的机会被抽到,样本的容量要适当;
(2)根据样本的情况估计总体情况,利用室内体育活动方式进行减压的人数:600×人
【详解】
解:(1)小新抽样调查所得的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况.小莹抽取名男生居家减压方式统计,没有随机抽样,而且只抽取男生,样本没有代表性;小静随机抽取
名学生居家减压方式统计,样本容量太小,也没有代表性;
(2)估计该校九年级名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数:
600×=260(人)
答:(1)小新抽样调查所得的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况.小莹抽取名男生居家减压方式统计,没有随机抽样,而且只抽取男生,样本没有代表性;小静随机抽取
名学生居家减压方式统计,样本容量太小,也没有代表性;(2)估计该校九年级
名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数是260人.
【点睛】
考核知识点:抽样调查.要注意抽样调查中样本的容量要适中,要具有代表性,会用样本估计总体情况.
如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点,点
,
在函数
的图象上(点
的横坐标大于点
的横坐标),点
的坐示为
,过点
作
轴于点
,过点
作
轴于点
,连接
,
.
(1)求的值.
(2)若为
中点,求四边形
的面积.
(1)8;(2)10.
【解析】
(1)将点的坐标为
代入
,可得结果;
(2)利用反比例函数的解析式可得点的坐标,利用三角形的面积公式和梯形的面积公式可得结果.
【详解】
解:(1)将点的坐标为
代入
,
可得,
的值为8;
(2)的值为8,
函数
的解析式为
,
为
中点,
,
,
点
的横坐标为4,将
代入
,
可得,
点
的坐标为
,
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的系数的几何意义,运用数形结合思想是解答此题的关键.
如图,某班数学小组测量塔的高度,在与塔底部相距
的
处,用高
的测角仪
测得该塔顶端
的仰角
为
.求塔
的高度(结果精确到
).(参考数据:
,
,
)
【解析】
通过,可求出AE的长,从而得到AB的高度.
【详解】
解:由题意可知,
,
,
在直角△ADE中,,
∵,
∴,即
,
∴,
因此塔的高度为
.
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用问题,熟练掌握三角函数是解题的关键.
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