如图,在平面直角坐标系中,是坐标原点,抛物线经过点和点,
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图,线段绕原点逆时针旋转30°得到线段.过点作射线,点是射线上一点(不与点重合),点关于轴的对称点为点,连接
①请直接写出的形状为__________.
②设的面积为的面积为是,当时,求点的坐标;
(3)如图,在(2)的结论下,过点作,交的延长线于点,线段绕点逆时针旋转,旋转角为得到线段,过点作轴,交射线于点,的角平分线和的角平分线相交于点,当时,请直接写出点的坐标为__________.
(1);(2)①等边三角形;②;(3)(6,)
【解析】
(1)根据题意代入点B、C坐标,利用待定系数法解析式可解;
(2)①过点D作DH⊥OB于点H ,利用解直角三角形知识,求出,得到,由对称性问题可解;
②在①基础上,分别求出S1、S2面积,求出MN则问题可解;
(3)由旋转的性质可知BE=BF,然后根据(2)中的结论可得点E和点F到x轴距离相等,又由于FK ∥x轴,所以点K到x轴的距离等于点F到x轴的距离,从而确定E、K重合,可得为等边三角形,从而根据题目条件可求点G坐标.
【详解】
解:(1)∵抛物线经过点B(6,0),C(0,-3)
∴
解得
∴抛物线的表达式为.
(2)①等边三角形
如图
过点D作DH⊥OB于点H,
在中,
在中,
∴
由轴对称可知,,
∴为等边三角形
故答案为:等边三角形;
②由①,得
设
在中,
(3)由题意如图,
在(2)的结论下可知△BMN为等边三角形,M(3,)
∵,交的延长线于点,
∴∠MBE=30°,ER=
∵线段绕点逆时针旋转,旋转角为得到线段
∴点F到x轴的距离= ER=
∵FK ∥x轴,
∴点K到x轴的距离等于点F到x轴的距离= ER=
又∵点K、E均在射线BE上
∴K、E两点重合
∴
∴为等边三角形
∴,∠OBG=90°
∵
∴点G坐标为(6,)
故答案为:(6,)
【点睛】
本题考查二次函数的综合、待定系数法、旋转的性质、轴对称及等边三角形的性质等知识,综合性较强,利用数形结合思想解题是关键,属于中考压轴题.
在中,,点为线段延长线上一动点,连接,将线段绕点逆时针旋转,旋转角为,得到线段,连接.
(1)如图,当时,
①求证:;
②求的度数:
(2)如图2,当时,请直接写出和的数量关系为__________;
(3)当时,若时,请直接写出点到的距离为__________.
(1)①证明见解析;②60°;(2);(3)或.
【解析】
(1)①通过证明即可得证;②根据得到,故即可求解;
(2)通过证明,对应线段成比例可得;
(3)分两种情形,解直角三角形求出即可解决问题.
【详解】
解:(1)①证明:∵,,,
∴与都是等边三角形,
∴,,,
∴,即,
∴,
∴;
②∵,
∴,
∵,
∴,
∵是等边三角形,
∴,
∴;
(2)∵,,,
∴,,
∴,即,
∴,
∴,即,
故答案为:;
(3)过点作于,过点作交的延长线于.
如图中,当是钝角三角形时,
在中,,,,
,,
,
,
由(2)可知,,
,
,
,
如图中,当是锐角三角形时,同法可得,,,
综上所述,满足条件的的值为或.
故答案为:或.
【点睛】
本题属于几何变换综合题,考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.
某工程队准备修建一条长的盲道,由于采用新的施工方式,实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%,结果提前2天完成这一任务,原计划每天修建盲道多少米?
原计划每天修建盲道300米
【解析】
可设原计划每天修建盲道米,由“实际每天修建盲道的长度比原计划增加25%”可知实际每天修建米,表示出原计划和实际修建的盲道所用的时间,根据“提前2天完成这一任务”可列出关于x的分式方程,求解即可.
【详解】
解:设原计划每天修建盲道米,
根据题意,得.
解这个方程,得.
经检验:是所列方程的根.
答:原计划每天修建盲道300米
【点睛】
本题主要考查了分式方程的实际应用,正确理解题意,找准题中等量关系列出方程是解题的关键.
某市为了将生活垃圾合理分类,并更好地回收利用,将垃圾分为可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类.现随机抽取该市吨垃圾,将调查结果制成如下两幅不完整的统计图:
根据统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)__________,__________;
(2)根据以上信息直接在答题卡中补全条形统计图;
(3)扇形统计图中,厨余垃圾所对应的扇形圆心角的度数为__________度;
(4)根据抽样调查的结果,请你估计该市200吨垃圾中约有多少吨可回收物.
(1)100,60;(2)图见解析;(3)108;(4)120.
【解析】
(1)根据其他垃圾的条形统计图和扇形统计图信息可得m的值,再求出可回收物的数量,然后除以m求出其占比即可得出n的值;
(2)根据可回收物的数量补全条形统计图即可;
(3)先求出厨余垃圾的占比,再乘以即可得;
(4)直接利用200乘以可回收物的占比即可得.
【详解】
(1)(吨)
可回收物的数量为(吨)
可回收物的占比为
则
故答案为:100,60﹔
(2)由(1)可知,可回收物的数量为60吨,补全条形统计图如下所示:
(3)厨余垃圾的占比为
则
故答案为:108;
(4)(吨)
答:该市200吨垃圾中约有120吨可回收物.
【点睛】
本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点,掌握理解统计调查的相关知识是解题关键.
如图,在矩形中,对角线的垂直平分线分别与边和边的延长线交于点,,与边交于点,垂足为点.
(1)求证:;
(2)若,,请直接写出的长为__________.
(1)详见解析;(2)
【解析】(1)利用矩形的性质和线段垂直平分线的性质证明三角形全等即可.
(2)分别由勾股定理和线段垂直平分线求AC、AO,再证明∽,得到,求出AE即可.
【详解】(1)证明:∵是的垂直平分线,
∴.
∵矩形,
∴即
∴.
在和中
∴.
(2)解:由勾股定理
∵MN是AC的垂直平分线
∴
∵
∴
∵
∴∽,
∴,即
解得.
【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理和相似三角形的性质与判定,解答关键是根据相似三角形构造方程求解.
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