在中,,点为线段延长线上一动点,连接,将线段绕点逆时针旋转,旋转角为,得到线段,连接.
(1)如图,当时,
①求证:;
②求的度数:
(2)如图2,当时,请直接写出和的数量关系为__________;
(3)当时,若时,请直接写出点到的距离为__________.
(1)①证明见解析;②60°;(2);(3)或.
【解析】
(1)①通过证明即可得证;②根据得到,故即可求解;
(2)通过证明,对应线段成比例可得;
(3)分两种情形,解直角三角形求出即可解决问题.
【详解】
解:(1)①证明:∵,,,
∴与都是等边三角形,
∴,,,
∴,即,
∴,
∴;
②∵,
∴,
∵,
∴,
∵是等边三角形,
∴,
∴;
(2)∵,,,
∴,,
∴,即,
∴,
∴,即,
故答案为:;
(3)过点作于,过点作交的延长线于.
如图中,当是钝角三角形时,
在中,,,,
,,
,
,
由(2)可知,,
,
,
,
如图中,当是锐角三角形时,同法可得,,,
综上所述,满足条件的的值为或.
故答案为:或.
【点睛】
本题属于几何变换综合题,考查了全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解直角三角形等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题.
相似三角形的判定:
1.基本判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似:
(1).两个全等的三角形
(全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1:1)
(2).两个等腰三角形
(两个等腰三角形,如果其中的任意一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形相似。)
(3).两个等边三角形
(两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以相似)
(4).直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
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