如图,在矩形中,对角线的垂直平分线分别与边和边的延长线交于点,,与边交于点,垂足为点.
(1)求证:;
(2)若,,请直接写出的长为__________.
(1)详见解析;(2)
【解析】(1)利用矩形的性质和线段垂直平分线的性质证明三角形全等即可.
(2)分别由勾股定理和线段垂直平分线求AC、AO,再证明∽,得到,求出AE即可.
【详解】(1)证明:∵是的垂直平分线,
∴.
∵矩形,
∴即
∴.
在和中
∴.
(2)解:由勾股定理
∵MN是AC的垂直平分线
∴
∵
∴
∵
∴∽,
∴,即
解得.
【点睛】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理和相似三角形的性质与判定,解答关键是根据相似三角形构造方程求解.
相似三角形的判定:
1.基本判定定理
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似。
(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)
(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)
(4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等),那么这两个三角形相似。
2.直角三角形判定定理
(1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似。
(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。
3.一定相似:
(1).两个全等的三角形
(全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1:1)
(2).两个等腰三角形
(两个等腰三角形,如果其中的任意一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三角形相似。)
(3).两个等边三角形
(两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以相似)
(4).直角三角形中由斜边的高形成的三个三角形。
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