如图1,抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于A(-3,0)和B(1,0),与y轴交于点C,顶点为D.
(1)求解抛物线解析式;
(2)连接AD,CD,BC,将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移,得到,点O、B、C的对应点分别为点,,,设平移时间为t秒,当点O'与点A重合时停止移动.记与四边形AOCD的重叠部分的面积为S,请直接写出S与时间t的函数解析式;
(3)如图2,过抛物线上任意一点M(m,n)向直线l:作垂线,垂足为E,试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F,使得ME-MF=?若存在,请求F点的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)y=-x2-2x+3;(2);(3)存在,.
【解析】(1)运用待定系数法解答即可;
(2)三种情况解答即可;
(3)设F点坐标为(-1,t)、点M(m,n),则有、进而求得ME,然后分别通过线段的和差和勾股定理求得MF的长,然后得到等式、化简、对比即可求得t即可.
【详解】
解:(1)将A(-3,0)和B(1,0)代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中,可得:
,解得:
∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3;
(2)∵y=-x2-2x+3=
∴抛物细的顶点坐标为(-1,4)
∵A(-3,0)在直线AD上
设抛物线解析式为y=kx+b
则有 ,解得:
∴直线AD的解析式为y=2x+6,
当在AD上时,令y=3,即3=2x+6,解得x=-
①如图所示,当0<t<1时,
∴OC=O'C'=3,O'B'=OB=1,OB'=1-t
∵O'C//OC
∴△∽△OM
∴,即,解得:OM=3(1-t)
S= S△O'B'C'- S△OMB'
=
②当时,完全在四边形AOCD内,
③当时,如图所示,过G点作GH⊥,设HG=x,
∵GH//AB
∴,∠HGK=∠KAO
∵
∴
∴,
∵直线AD的解析式为y=2x+6,
∴
∴ ,
∴,KO'=2AO'
∴
∵
∴
∵O'C'= C'K+AO'
∴
∴
S=S△O'B'C'- S△C'GK
=
∴
综上:;
(3)假设存在,设F点坐标为(-1,t)、点M(m,n)
∴
∴
∴
而
∴
∴
∴=-
∴,即
∴.
【点睛】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的解析式、解直角三角形、勾股定理、分类讨论思想和存在性问题,其中掌握二次函数的性质和分类讨论思想是解答本题的关键.
背景:一次小组合作探究课上,小明将两个正方形按背景图位置摆放(点E,A,D在同一条直线上),发现BE=DG且BE⊥DG.小组讨论后,提出了三个问题,请你帮助解答:
(1)将正方形AEFG绕点A按逆时针方向旋转,(如图1)还能得到BE=DG吗?如果能,请给出证明.如若不能,请说明理由:
(2)把背景中的正方形分别改为菱形AEFG和菱形ABCD,将菱形AEFG绕点A按顺时针方向旋转,(如图2)试问当∠EAG与∠BAD的大小满足怎样的关系时,背景中的结论BE=DG仍成立?请说明理由;
(3)把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD,且,AE=4,AB=8,将矩形AEFG绕点A按顺时针方向旋转(如图3),连接DE,BG.小组发现:在旋转过程中, BG2+DE2是定值,请求出这个定值.
(1)见解析;(2)当∠EAG=∠BAD时,BE=DG成立;理由见解析;(3).
【解析】
(1)根据四边形ABCD和AEFG是正方形的性质证明△EAB≌△GAD即可;
(2)根据菱形AEFG和菱形ABCD的性质以及角的和差证明△EAB≌△GAD即可说明当∠EAG=∠BAD时,BE=DG成立;
(3)如图:连接EB,BD,设BE和GD相交于点H,先根据四边形AEFG和ABCD为矩形的性质说明△EAB∽△GAD,再根据相似的性质得到,最后运用勾股定理解答即可.
【详解】
(1)证明:∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD,
∵四边形AEFG为正方形
∴AE=AG,
∴
在△EAB和△GAD中有:
∴△EAB≌△GAD
∴BE=DG;
(2)当∠EAG=∠BAD时,BE=DG成立。
证明:∵四边形ABCD菱形
∴AB=AD
∵四边形AEFG为正方形
∴AE=AG
∵∠EAG=∠BAD
∴
∴
在△EAB和△GAD中有:
∴△EAB≌△GAD
∴BE=DG;
(3)连接EB,BD,设BE和GD相交于点H
∵四边形AEFG和ABCD为矩形
∴
∴
∵
∴△EAB∽△GAD
∴
∴
∴
∴
,
∴.
【点睛】
本题属于四边形综合题,主要考查了正方形的性质、菱形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点,灵活运用所学知识是解答本题的关键.
端午节前夕,某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽,肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元.
(1)肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元?
(2)由于粽子畅销,商铺决定再购进这两种粽子共300个,其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍,且每种粽子的进货单价保持不变,若肉粽的销售单价为14元,蜜枣粽的销售单价为6元,试问第二批购进肉粽多少个时,全部售完后,第二批粽子获得利润最大?第二批粽子的最大利润是多少元?
(1)肉粽得进货单价为10元,蜜枣粽得进货单价为4元;(2)第二批购进肉粽200个时,全部售完后,第二批粽子获得利润最大,最大利润为1000元.
【解析】
(1)设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元,根据题意列方程组解答;
(2)设第二批购进肉粽t个,第二批粽子得利润为W,列出函数关系式再根据函数的性质解答即可.
【详解】
(1)设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x、y元,则根据题意可得:
.
解此方程组得:.
答:肉粽得进货单价为10元,蜜枣粽得进货单价为4元;
(2)设第二批购进肉粽t个,第二批粽子得利润为W,则
,
∵k=2>0,
∴W随t的增大而增大,
由题意,解得,
∴当t=200时,第二批粽子由最大利润,最大利润,
答:第二批购进肉粽200个时,全部售完后,第二批粽子获得利润最大,最大利润为1000元.
【点睛】
此题考查二元一次方程组的实际应用,不等式的实际应用,一次函数解决实际问题,一次函数的性质,正确理解题意列出方程组或函数、不等式解决问题是关键.
如图,AB为⊙O的直径,点C在⊙O上,AD与过点C的切线互相垂直,垂足为D.连接BC并延长,交AD的延长线于点E.
(1)求证:AE=AB;
(2)若AB=10,BC=6,求CD的长.
(1)见解析;(2).
【解析】
(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB=∠E,即可推出∠ABE=∠E,AE=AB.
(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可.
【详解】
(1)证明:连接OC
∵CD与⊙O相切于C点
∴OC⊥CD
又∵CD⊥AE
∴OC//AE
∴∠OCB=∠E
∵OC=OB
∴∠ABE=∠OCB
∴∠ABE=∠E
∴AE=AB
(2)连接AC
∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴
∵AB=AE,AC⊥BE
∴EC=BC=6
∵∠DEC=∠CEA, ∠EDC=∠ECA
∴△EDC∽△ECA
∴
∴.
【点睛】
本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解.
以人工智能、大数据、物联网为基础的技术创新促进了新业态蓬勃发展,新业态发展对人才的需求更加旺盛.某大型科技公司上半年新招聘软件、硬件、总线、测试四类专业的毕业生,现随机调査了m名新聘毕业生的专业情况,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图:
根据以上信息,解答下列问题:
(1)m= ,n= ;
(2)请补全条形统计图;
(3)在扇形统计图中,“软件”所对应圆心角的度数是 ;
(4)若该公司新聘600名毕业生,请你估计“总线”专业的毕业生有 名.
(1)50,10;(2)补全条形统计图见解析;(3)70°;(4)估计“总线”专业的毕业生有180名.
【解析】
(1)根据条形统计图和扇形统计图的数据计算即可.
(2)先算出硬件专业的毕业生人数,再补充统计图即可.
(3)先算出软件专业的占比,再利用周角相乘即可算出圆心角.
(4)用600与总线所占比相乘即可求出.
【详解】
(1)由统计图可知,,n=10.
(2)硬件专业的毕业生为人,则统计图为
(3)软件专业的毕业生对应的占比为,所对的圆心角的度数为.
(4)该公司新聘600名毕业生,“总线”专业的毕业生为名.
【点睛】
本题考查条形统计图和扇形统计图的画图和信息获取,关键在于通过图象获取有用信息.
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