在平面直角坐标系中,⊙O的半径为1,A,B为⊙O外两点,AB=1.给出如下定义:平移线段AB,得到⊙O的弦(分别为点A,B的对应点),线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”.
(1)如图,平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和,则这两条弦的位置关系是 ;在点中,连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”;
(2)若点A,B都在直线上,记线段AB到⊙O的“平移距离”为,求的最小值;
(3)若点A的坐标为,记线段AB到⊙O的“平移距离”为,直接写出的取值范围.
(1)平行,P3;(2);(3)
【解析】(1)根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可;
(2)过点O作OE⊥AB于点E,交弦CD于点F,分别求出OE、OF的长,由得到的最小值;
(3)线段AB的位置变换,可以看作是以点A为圆心,半径为1的圆,只需在⊙O内找到与之平行,且长度为1的弦即可.平移距离的最大值即点A,B点的位置,由此得出的取值范围.
【详解】解:(1)平行;P3;
(2)如图,线段AB在直线上,平移之后与圆相交,得到的弦为CD,CD∥AB,过点O作OE⊥AB于点E,交弦CD于点F,OF⊥CD,令,直线与x轴交点为(-2,0),直线与x轴夹角为60°,∴.
由垂径定理得:,
∴;
(3)线段AB的位置变换,可以看作是以点A为圆心,半径为1的圆,只需在⊙O内找到与之平行,且长度为1的弦即可;
点A到O的距离为.
如图,平移距离的最小值即点A到⊙O的最小值:;
平移距离的最大值线段是下图AB的情况,即当A1,A2关于OA对称,且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°,则∠OA2A1=30°,
∵OA2=1,∴OM=, A2M=,
∴MA=3,AA2= ,
∴的取值范围为:.
【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用,熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键.
在中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中点.E为直线上一动点,连接DE,过点D作DF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点时,设,求EF的长(用含的式子表示);
(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明.
(1);(2)图见解析,,证明见解析.
【解析】
(1)先根据中位线定理和线段中点定义可得,,,再根据平行四边形的性质、矩形的判定与性质可得,从而可得,然后利用勾股定理即可得;
(2)如图(见解析),先根据平行线的性质可得,,再根据三角形全等的判定定理与性质可得,,然后根据垂直平分线的判定与性质可得,最后在中,利用勾股定理、等量代换即可得证.
【详解】
(1)∵D是AB的中点,E是线段AC的中点
∴DE为的中位线,且
∴,
∵
∴
∵
∴
∴四边形DECF为矩形
∴
∴
则在中,;
(2)过点B作AC的平行线交ED的延长线于点G,连接FG
∵
∴,
∵D是AB的中点
∴
在和中,
∴
∴,
又∵
∴DF是线段EG的垂直平分线
∴
∵,
∴
在中,由勾股定理得:
∴.
【点睛】
本题考查了中位线定理、矩形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质、垂直平分线的判定与性质、勾股定理等知识点,较难的是题(2),通过作辅助线,构造全等三角形和直角三角形是解题关键.
在平面直角坐标系中,为抛物线上任意两点,其中.
(1)若抛物线的对称轴为,当为何值时,
(2)设抛物线的对称轴为.若对于,都有,求的取值范围.
(1);(2)
【解析】
(1)根据抛物线解析式得抛物线必过(0,c),因为,抛物线的对称轴为,可得点M,N关于对称,从而得到的值;
(2)根据题意知,抛物线开口向上,对称轴为,分3种情况讨论,情况1:当都位于对称轴右侧时,情况2:当都位于对称轴左侧时,情况3:当位于对称轴两侧时,分别求出对应的t值,再进行总结即可.
【详解】
解:(1)当x=0时,y=c,
即抛物线必过(0,c),
∵,抛物线的对称轴为,
∴点M,N关于对称,
又∵,
∴,;
(2)由题意知,a>0,
∴抛物线开口向上
∵抛物线的对称轴为,
∴情况1:当都位于对称轴右侧时,即当时,恒成立
情况2:当都位于对称轴左侧时,即<时,恒不成立
情况3:当位于对称轴两侧时,即当时,要使,必有,即
解得,
∴3≥2t,
∴
综上所述,.
【点睛】
本题考查了二次函数图象的性质.解题的关键是学会分类讨论的思想及数形结合思想.
小云统计了自己所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量(单位:千克),相关信息如下:
.小云所住小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量统计图:
.小云所住小区5月1日至30日分时段的厨余垃圾分出量的平均数如下:
时段 | 1日至10日 | 11日至20日 | 21日至30日 |
平均数 | 100 | 170 | 250 |
(1)该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为 (结果取整数)
(2)已知该小区4月的厨余垃圾分出量的平均数为60,则该小区5月1日至30日的厨余垃圾分出量的平均数约为4月的 倍(结果保留小数点后一位);
(3)记该小区5月1日至10日的厨余垃圾分出量的方差为5月11日至20日的厨余垃圾分出量的方差为,5月21日至30日的厨余垃圾分出量的方差为.直接写出的大小关系.
(1)173;(2)2.9倍;(3)
【解析】
(1)利用加权平均数的计算公式进行计算,即可得到答案;
(2)利用5月份的平均数除以4月份的平均数,即可得到答案;
(3)直接利用点状图和方差的意义进行分析,即可得到答案.
【详解】
解:(1)平均数:(千克);
故答案为:173;
(2)倍;
故答案为:2.9;
(3)方差反应数据的稳定程度,即从点状图中表现数据的离散程度,
所以从图中可知:;
【点睛】
本题考查了方差的意义,平均数,以及数据的分析处理,解题的关键是熟练掌握题意,正确的分析数据的联系.
小云在学习过程中遇到一个函数.下面是小云对其探究的过程,请补充完整:
(1)当时,对于函数,即,当时,随的增大而 ,且;对于函数,当时,随的增大而 ,且;结合上述分析,进一步探究发现,对于函数,当时,随的增大而 .
(2)当时,对于函数,当时,与的几组对应值如下表:
| 0 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
|
| 0 |
|
|
| 1 |
|
|
|
综合上表,进一步探究发现,当时,随的增大而增大.在平面直角坐标系中,画出当时的函数的图象.
(3)过点(0,m)()作平行于轴的直线,结合(1)(2)的分析,解决问题:若直线与函数的图象有两个交点,则的最大值是 .
(1)减小,减小,减小;(2)见解析;(3)
【解析】(1)根据一次函数的性质,二次函数的性质分别进行判断,即可得到答案;
(2)根据表格的数据,进行描点,连线,即可画出函数的图像;
(3)根据函数图像和性质,当时,函数有最大值,代入计算即可得到答案.
【详解】解:(1)根据题意,在函数中,
∵,
∴函数在中,随的增大而减小;
∵,
∴对称轴为:,
∴在中,随的增大而减小;
综合上述,在中,随的增大而减小;
故答案为:减小,减小,减小;
(2)根据表格描点,连成平滑的曲线,如图:
(3)由(2)可知,当时,随的增大而增大,无最大值;
由(1)可知在中,随的增大而减小;
∴在中,有
当时,,
∴m的最大值为;
故答案为:.
【点睛】本题考查了二次函数的性质,一次函数的性质,以及函数的最值问题,解题的关键是熟练掌握题意,正确的作出函数图像,并求函数的最大值.
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