在平面直角坐标系中,⊙O的半径为1,A,B为⊙O外两点,AB=1.给出如下定义:平移线段AB,得到⊙O的弦(分别为点A,B的对应点),线段长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”.
(1)如图,平移线段AB到⊙O的长度为1的弦和,则这两条弦的位置关系是 ;在点中,连接点A与点 的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”;
(2)若点A,B都在直线上,记线段AB到⊙O的“平移距离”为,求的最小值;
(3)若点A的坐标为,记线段AB到⊙O的“平移距离”为,直接写出的取值范围.
(1)平行,P3;(2);(3)
【解析】(1)根据圆的性质及“平移距离”的定义填空即可;
(2)过点O作OE⊥AB于点E,交弦CD于点F,分别求出OE、OF的长,由得到的最小值;
(3)线段AB的位置变换,可以看作是以点A为圆心,半径为1的圆,只需在⊙O内找到与之平行,且长度为1的弦即可.平移距离的最大值即点A,B点的位置,由此得出的取值范围.
【详解】解:(1)平行;P3;
(2)如图,线段AB在直线上,平移之后与圆相交,得到的弦为CD,CD∥AB,过点O作OE⊥AB于点E,交弦CD于点F,OF⊥CD,令,直线与x轴交点为(-2,0),直线与x轴夹角为60°,∴.
由垂径定理得:,
∴;
(3)线段AB的位置变换,可以看作是以点A为圆心,半径为1的圆,只需在⊙O内找到与之平行,且长度为1的弦即可;
点A到O的距离为.
如图,平移距离的最小值即点A到⊙O的最小值:;
平移距离的最大值线段是下图AB的情况,即当A1,A2关于OA对称,且A1B2⊥A1A2且A1B2=1时.∠B2A2A1=60°,则∠OA2A1=30°,
∵OA2=1,∴OM=, A2M=,
∴MA=3,AA2= ,
∴的取值范围为:.
【点睛】本题考查圆的基本性质及与一次函数的综合运用,熟练掌握圆的基本性质、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系是解题的关键.
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