问题提出
(1)如图①,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC=5,则△ABC的外接圆半径R的值为 .
问题探究
(2)如图②,⊙O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是⊙O上一动点,求PM的最大值.
问题解决
(3)如图③所示,AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中,AB=6km,AC=3km,∠BAC=60°,BC所对的圆心角为60°.新区管委会想在BC路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站点E、F.也就是,分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计).
图① 图② 图③
【详解】(1)如图(1),设外接圆的圆心为O,连接OA, OB,
∵O是等腰三角形ABC的外心,AB=AC,
∴∠BAO=∠OAC=∠BAC==60°,
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴OB=AB=5,
故答案为:5;
(2)如图(2)所示,连接MO并延长交⊙O于N,连接OP,
显然,MP≤OM+OP=OM+ON=MN,ON=13,OM==5,MN=18,
∴PM的最大值为18;
(3) 如图(3)所示,假设P点即为所求点,分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P"连接PP´、P´E,PE,P"F,PF,PP"
由对称性可知PE+EF+FP=P´E+EF+FP"=P´P",且P´、E、F、P"在一条直线上,所以P´P"即为最短距离,其长度取决于PA的长度,
如图(4),作出弧BC的圆心O,连接AO,与弧BC交于P,P点即为使得PA最短的点,∵AB=6km,AC=3km,∠BAC=60°,
∴∆ABC是直角三角形,∠ABC=30°,BC=3,
BC所对的圆心角为60°,∴∆OBC是等边三角形,∠CBO=60°,BO=BC=3,
∴∠ABO=90°,AO=3,PA=3-3,
∠P´AE=∠EAP,∠PAF=∠FAP",
∴∠P´AP"=2∠ABC=120°,P´A=AP",
∴∠AP´E=∠AP"F=30°,
∵P´P"=2P´Acos∠AP´E=P´A=3-9,
所以PE+EF+FP的最小值为3-9km.
已知抛物线L:y=x2+x-6与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.
(1)求A、B、C三点的坐标,并求出△ABC的面积;
(2)将抛物线向左或向右平移,得到抛物线L´,且L´与x轴相交于A´、B´两点(点A´在点B´的左侧),并与y轴交于点C´,要使△A´B´C´和△ABC的面积相等,求所有满足条件的抛物线的函数表达式.
【详解】(1)当y=0时,x2+x-6=0,解得x1=-3,x2=2,
当x=0时,y=-6,
∴A(-3,0),B(2,0),C(0,6),
∴S△ABC=AB·OC=×5×6=15;
(2)将抛物线向左或向右平移时,A´、B´两点间的距离不变,始终为5,
那么要使△A´B´C´和△ABC的面积相等,高也只能是6,
设A(a,0),则B(a+5,0),y=(x-a)(x-a-5),
当x=0时,y=a2+5a,
当C´点在x轴上方时,y=a2+5a=6,a=1或a=-6,
此时y=x2-7x-6或y=x2+7x-6;
当C´点在x轴下方时,y=a2+5a=-6,a=-2或a=-3,
此时y=x2-x-6或y=x2+x-6(与原抛物线重合,舍去);
所以,所有满足条件的抛物线的函数表达式为:y=x2-7x-6,y=x2+7x-6,y=x2-x-6.
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的交点、抛物线的平移等知识,熟知抛物线沿x轴左右平移时,抛物线与x轴两个交点间的距离不变是解(2)小题的关键.
如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O,分别与AC、BC相交于点M、N.
(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E,求证:NE⊥AB;
(2)连接MD,求证:MD=NB.
【详解】(1)如图,连接ON,
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,
∴AD=CD=DB,
∴∠DCB=∠DBC,
又∵OC=ON,∴∠DCB=∠ONC,
∴∠ONC=∠DBC,
∴ON∥AB,
∵NE是⊙O的切线,ON是⊙O的半径,
∴∠ONE=90°,
∴∠NEB=90°,即NE⊥AB;
(2)如图所示,由(1)可知ON∥AB,
∵OC=OD,∴
∴CN=NB=CB,
又∵CD是⊙O的直径,∴∠CMD=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠CMD+∠ACB=180°,∴MD//BC,
又∵D是AB的中点,∴MD=CB,
∴MD=NB.
【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线、圆周角定理等,正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.
如图,可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域,其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°.转动转盘,待转盘自动停止后,指针指向一个扇形的内部,则该扇形内的数字即为转出的数字,此时,称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线,则不计转动的次数,重新转动转盘,直到指针指向一个扇形的内部为止)
(1)转动转盘一次,求转出的数字是-2的概率;
(2)转动转盘两次,用树状图或列表法求这两次分别转出的数字之积为正数的概率.
【详解】(1)由题意可知:“1”和“3”所占的扇形圆心角为120°,
所以2个“-2”所占的扇形圆心角为360°-2×120°=120°,
∴转动转盘一次,求转出的数字是-2的概率为=;
(2)由(1)可知,该转盘转出“1”、“3”、“-2”的概率相同,均为,所有可能性如下表所示:
第一次 第二次 | 1 | -2 | 3 |
1 | (1,1) | (1,-2) | (1,3) |
-2 | (-2,1) | (-2,-2) | (-2,3) |
3 | (3,1) | (3,-2) | (3,3) |
由上表可知:所有可能的结果共9种,其中数字之积为正数的的有5种,其概率为.
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率,用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比.
经过一年多的精准帮扶,小明家的网络商店(简称网店)将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国,小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表:
商品 | 红枣 | 小米 |
规格 | 1kg/袋 | 2kg/袋 |
成本(元/袋) | 40 | 38 |
售价(元/袋) | 60 | 54 |
根据上表提供的信息,解答下列问题:
(1)已知今年前五个月,小明家网店销售上表中规格的红枣和小米共3000kg,获得利润4.2万元,求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋;
(2)根据之前的销售情况,估计今年6月到10月这后五个月,小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共2000kg,其中,这种规格的红枣的销售量不低于600kg.假设这后五个月,销售这种规格的红枣味x(kg),销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为y(元),求出y与x之间的函数关系式,并求出这后五个月,小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元.
【详解】 (1)设前五个月小明家网店销售这种规格的红枣a袋,销售小米b袋,
根据题意得:,解得:,
答:前五个月小明家网店销售这种规格的红枣1500袋,销售小米750袋;
(2)根据题意得:y=(60-40)x+(54-38)×=12x+16000,
∵k=12>0,∴y随x的增大而增大,
∵x≥600,∴当x=600时,y取得最小值,
最小值为y=12×600+16000=23200,
∴小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润23200元.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,一次函数的应用,弄清题意,找出各个量之间的关系是解题的关键.
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