如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB上的中线CD为直径作⊙O，分别与AC、BC相交于点M、N．
(1)过点N作⊙O的切线NE与AB相交于点E，求证：NE⊥AB；
(2)连接MD，求证：MD＝NB．
答案
【详解】（1）如图，连接ON，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴AD＝CD＝DB，
∴∠DCB＝∠DBC，
又∵OC=ON，∴∠DCB＝∠ONC，
∴∠ONC＝∠DBC，
∴ON∥AB，
∵NE是⊙O的切线，ON是⊙O的半径，
∴∠ONE＝90°，
∴∠NEB＝90°，即NE⊥AB；
（2）如图所示，由（1）可知ON∥AB，
∵OC＝OD，∴
∴CN＝NB＝
CB，
又∵CD是⊙O的直径，∴∠CMD=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CMD+∠ACB=180°，∴MD//BC，
又∵D是AB的中点，∴MD＝CB，
∴MD＝NB．
【点睛】本题考查了切线的性质、三角形中位线、圆周角定理等，正确添加辅助线、熟练应用相关知识是解题的关键.
