问题提出
(1)如图①,在△ABC中,∠A=120°,AB=AC=5,则△ABC的外接圆半径R的值为 .
问题探究
(2)如图②,⊙O的半径为13,弦AB=24,M是AB的中点,P是⊙O上一动点,求PM的最大值.
问题解决
(3)如图③所示,AB、AC、BC是某新区的三条规划路其中,AB=6km,AC=3km,∠BAC=60°,BC所对的圆心角为60°.新区管委会想在BC路边建物资总站点P,在AB、AC路边分别建物资分站点E、F.也就是,分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F.由于总站工作人员每天要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输,因此,要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP.为了快捷环保和节约成本要使得线段PE、EF、FP之和最短,试求PE+EF+FP的最小值(各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计).
图① 图② 图③
【详解】(1)如图(1),设外接圆的圆心为O,连接OA, OB,
∵O是等腰三角形ABC的外心,AB=AC,
∴∠BAO=∠OAC=∠BAC==60°,
∵OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴OB=AB=5,
故答案为:5;
(2)如图(2)所示,连接MO并延长交⊙O于N,连接OP,
显然,MP≤OM+OP=OM+ON=MN,ON=13,OM==5,MN=18,
∴PM的最大值为18;
(3) 如图(3)所示,假设P点即为所求点,分别作出点P关于AB、AC的对称点P´、P"连接PP´、P´E,PE,P"F,PF,PP"
由对称性可知PE+EF+FP=P´E+EF+FP"=P´P",且P´、E、F、P"在一条直线上,所以P´P"即为最短距离,其长度取决于PA的长度,
如图(4),作出弧BC的圆心O,连接AO,与弧BC交于P,P点即为使得PA最短的点,∵AB=6km,AC=3km,∠BAC=60°,
∴∆ABC是直角三角形,∠ABC=30°,BC=3,
BC所对的圆心角为60°,∴∆OBC是等边三角形,∠CBO=60°,BO=BC=3,
∴∠ABO=90°,AO=3,PA=3-3,
∠P´AE=∠EAP,∠PAF=∠FAP",
∴∠P´AP"=2∠ABC=120°,P´A=AP",
∴∠AP´E=∠AP"F=30°,
∵P´P"=2P´Acos∠AP´E=P´A=3-9,
所以PE+EF+FP的最小值为3-9km.