直线 y = x + n 与直线 y = mx +3 n ( m 是常数, m ≠0 且 m ≠1 )交于点 A ,当 n 的值发生变化时,点 A 到直线 y = x ﹣ 3 的距离总是一个定值,则 m 的值是( )
A . 3 B . 2 C . D .
C
【分析】先求得交点 A 的坐标,即可求出点 A 的轨迹,进而判断出直线 与直线 y = x ﹣ 3 平行,即可求出 m 的值.
【详解】解: ∵ 直线 y = x + n 与直线 y = mx +3 n ( m 是常数, m ≠0 且 m ≠1 )交于点 A ,
解析式联立解得, x = , y = ,
∴ A ( , ),
∴ yA = xA ,
当 m 为一个的确定的值时, yA 是 xA 的正比例函数,
即:点 A 在直线 y = x 上,
∵ 点 A 到直线 y = x ﹣ 3 的距离总是一个定值,
∴ 直线 y = x 与直线 y = x ﹣ 3 平行,
∴ = ,
∴ m = .
故选: C .
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征,平行线的判定,得出点 A 的轨迹,利用方程的思想解决问题是解本题的关键.
若一次函数 与 的图像相交于点 ,则关于 , 的二元一次方程组 的解是( )
A . B . C . D .
B
【分析】先利用 y = - x + 1 确定 M 点坐标,然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断.
【详解】解:把 代入 ,
得
解得 ,
所以 点坐标为 ,
所以关于 , 的二元一次方程组 的解是 .
故选: B .
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程(组):方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标.
迭代是重复反馈过程的活动,其目的通常是为了逼近所需目标或结果.每一次对过程的重复称为一次 “ 迭代 ” ,而每一次迭代得到的结果会作为下一次迭代的初始值.对于一次函数 ,当 时, .将 代入,得出 ,此过程称为一次迭代:再将 代入,得出 ,此过程称为二次迭代 …… 为了更直观的理解,我们不妨借助于函数图象,请你根据图象,得出经过十次迭代后, y 的值接近于下列哪个整数( )
A . 2 B . 3 C . 4 D . 5
C
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征,得出一次函数 y = x +2 经过横纵坐标相等的点( 4 , 4 ),观察图象即可得出结论.
【详解】解:由 得 ,
∴ 直线 y = x 与直线 y = x +2 的交点为( 4 , 4 ),
由图象可知,经过十次迭代后, y 的值接近于整数 4 ,
故选: C .
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征,明确一次 “ 迭代 ” 的含义是解题的关键.
下列关于一次函数 的性质或结论中正确的是( )
A . y 随 x 的增大而减小 B .图像与 x 轴的交点坐标是( 0 ,- 2 )
C .与坐标轴围成的三角形的面积是 8 D .直线不经过第四象限
D
【分析】利用一次函数的性质以及图像上点的坐标特征判断即可.
【详解】解: ∵ 一次函数 y = 2 x + 4 中, k = 2 > 0 , b = 4 > 0 ,
∴ 直线经过第一、二、三象限,不经过第四象限,
∴ y 随 x 的增大而增大,故 A 不合题意; D 符合题意;
当 y = 0 时, 0 = 2 x + 4 ,解得 x = −2 ,
∴ 图像与 x 轴的交点坐标是( −2 , 0 ),故 B 不合题意;
当 x = 0 时, y = 4 ,
∴ 图像与 y 轴的交点坐标是( 0 , 4 ),
∴ 与坐标轴围成的三角形的面积是 ×4×2 = 4 ,故 C 不合题意;
故选: D .
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、三角形的面积、一次函数的性质以及一次函数图像与系数的关系,逐一分析四个选项的正误是解题的关键.
如图,点 A , B , C 在一次函数 y =- 2 x + b 的图象上,它们的横坐标依次为- 1 , 1 , 2 ,分别过这些点作 x 轴与 y 轴的垂线,则图中阴影部分的面积和是( )
A . 1 B . 3 C . 3 ( b - 1 ) D .
B
【分析】先表示出点 A , C 两点的坐标,再根据阴影部分的特征表示出阴影部分的面积,求解即可.
【详解】解:由题意可得 A 、 C 的坐标分别为(- 1 , b + 2 )、( 2 , b - 4 ),
又阴影部分为三个有一直角边都是 1 ,另一直角边的长度和为 A 点纵坐标与 C 点纵坐标之差的三角形,所以阴影部分的面积为: ,
故选 B .
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征,平面直角坐标系中图形的面积,解题的关键是正确地表示出阴影部分的面积.
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