抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,顶点为C,对称轴交x轴于点D,点P为抛物线对称轴CD上的一动点(点P不与C,D重合).过点C作直线PB的垂线交PB于点E,交x轴于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△PCF的面积为5时,求点P的坐标;
(3)当△PCF为等腰三角形时,请直接写出点P的坐标.
解:(1)函数的表达式为:y=(x+1)(x﹣5)=﹣x2+x+;
(2)抛物线的对称轴为x=1,则点C(2,2),
设点P(2,m),
将点P、B的坐标代入一次函数表达式:y=sx+t并解得:
函数PB的表达式为:y=﹣mx+…①,
∵CE⊥PE,故直线CE表达式中的k值为,
将点C的坐标代入一次函数表达式,
同理可得直线CE的表达式为:y=…②,
联立①②并解得:x=2﹣,
故点F(2﹣,0),
S△PCF=×PC×DF=(2﹣m)(2﹣﹣2)=5,
解得:m=5或﹣3(舍去5),
故点P(2,﹣3);
(3)由(2)确定的点F的坐标得:
CP2=(2﹣m)2,CF2=()2+4,PF2=()2+m2,
①当CP=CF时,即:(2﹣m)=()2+4,解得:m=0或(均舍去),
②当CP=PF时,(2﹣m)2=()2+m2,解得:m=或3(舍去3),
③当CF=PF时,同理可得:m=±2(舍去2),
故点P(2,)或(2,﹣2).
在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠A<∠ABC,D是AC边上一点,且DA=DB,O是AB的中点,CE是△BCD的中线.
(1)如图a,连接OC,请直接写出∠OCE和∠OAC的数量关系: ;
(2)点M是射线EC上的一个动点,将射线OM绕点O逆时针旋转得射线ON,使∠MON=∠ADB,ON与射线CA交于点N.
①如图b,猜想并证明线段OM和线段ON之间的数量关系;
②若∠BAC=30°,BC=m,当∠AON=15°时,请直接写出线段ME的长度(用含m的代数式表示).
解:(1)结论:∠ECO=∠OAC.
理由:如图1中,连接OE.
∵∠BCD=90°,BE=ED,BO=OA,
∵CE=ED=EB=BD,CO=OA=OB,
∴∠OCA=∠A,
∵BE=ED,BO=OA,
∴OE∥AD,OE=AD,
∴CE=EO.
∴∠EOC=∠OCA=∠ECO,
∴∠ECO=∠OAC.
故答案为:∠OCE=∠OAC.
(2)如图2中,
∵OC=OA,DA=DB,
∴∠A=∠OCA=∠ABD,
∴∠COA=∠ADB,
∵∠MON=∠ADB,
∴∠AOC=∠MON,
∴∠COM=∠AON,
∵∠ECO=∠OAC,
∴∠MCO=∠NAO,
∵OC=OA,
∴△COM≌△AON(ASA),
∴OM=ON.
②如图3﹣1中,当点N在CA的延长线上时,
∵∠CAB=30°=∠OAN+∠ANO,∠AON=15°,
∴∠AON=∠ANO=15°,
∴OA=AN=m,
∵△OCM≌△OAN,
∴CM=AN=m,
在Rt△BCD中,∵BC=m,∠CDB=60°,
∴BD=m,
∵BE=ED,
∴CE=BD=m,
∴EM=CM+CE=m+m.
如图3﹣2中,当点N在线段AC上时,作OH⊥AC于H.
∵∠AON=15°,∠CAB=30°,
∴∠ONH=15°+30°=45°,
∴OH=HN=m,
∵AH=m,
∴CM=AN=m﹣m,
∵EC=m,
∴EM=EC﹣CM=m﹣(m﹣m)=m﹣m,
综上所述,满足条件的EM的值为m+m或m﹣m.
如图,点P为正方形ABCD的对角线AC上的一点,连接BP并延长交CD于点E,交AD的延长线于点F,⊙O是△DEF的外接圆,连接DP.
(1)求证:DP是⊙O的切线;
(2)若tan∠PDC=,正方形ABCD的边长为4,求⊙O的半径和线段OP的长.
(1)连接OD,
∵正方形ABCD中,CD=BC,CP=CP,∠DCP=∠BCP=45°,
∴△CDP≌△CBP(SAS),
∴∠CDP=∠CBP,
∵∠BCD=90°,
∴∠CBP+∠BEC=90°,
∵OD=OE,
∴∠ODE=∠OED,
∠OED=∠BEC,
∴∠BEC=∠OED=∠ODE,
∴∠CDP+∠ODE=90°,
∴∠ODP=90°,
∴DP是⊙O的切线;
(2)∵∠CDP=∠CBE,
∴tan,
∴CE=,
∴DE=2,
∵∠EDF=90°,
∴EF是⊙O的直径,
∴∠F+∠DEF=90°,
∴∠F=∠CDP,
在Rt△DEF中,,
∴DF=4,
∴==2,
∴,
∵∠F=∠PDE,∠DPE=∠FPD,
∴△DPE∽△FPD,
∴,
设PE=x,则PD=2x,
∴,
解得x=,
∴OP=OE+EP=.
某工厂生产一种火爆的网红电子产品,每件产品成本16元、工厂将该产品进行网络批发,批发单价y(元)与一次性批发量x(件)(x为正整数)之间满足如图所示的函数关系.
(1)直接写出y与x之间所满足的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)若一次性批发量不超过60件,当批发量为多少件时,工厂获利最大?最大利润是多少?
解:(1)当0<x≤20且x为整数时,y=40;
当20<x≤60且x为整数时,y=﹣x+50;
当x>60且x为整数时,y=20;
(2)设所获利润w(元),
当0<x≤20且x为整数时,y=40,
∴w=(40﹣16)×20=480元,
当0<x≤20且x为整数时,y=40,
∴当20<x≤60且x为整数时,y=﹣x+50,
∴w=(y﹣16)x=(﹣x+50﹣16)x,
∴w=﹣x2+34x,
∴w=﹣(x﹣34)2+578,
∵﹣<0,
∴当x=34时,w最大,最大值为578元.
答:一次批发34件时所获利润最大,最大利润是578元.
小李要外出参加“建国70周年”庆祝活动,需网购一个拉杆箱,图①,②分别是她上网时看到的某种型号拉杆箱的实物图与示意图,并获得了如下信息:滑杆DE,箱长BC,拉杆AB的长度都相等,B,F在AC上,C在DE上,支杆DF=30cm,CE:CD=1:3,∠DCF=45°,∠CDF=30°,请根据以上信息,解决下列向题.
(1)求AC的长度(结果保留根号);
(2)求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离(结果保留根号).
解:(1)过F作FH⊥DE于H,
∴∠FHC=∠FHD=90°,
∵∠FDC=30°,DF=30,
∴FH=DF=15,DH=DF=15,
∵∠FCH=45°,
∴CH=FH=15,
∴,
∵CE:CD=1:3,
∴DE=CD=20+20,
∵AB=BC=DE,
∴AC=(40+40)cm;
(2)过A作AG⊥ED交ED的延长线于G,
∵∠ACG=45°,
∴AG=AC=20+20,
答:拉杆端点A到水平滑杆ED的距离为(20+20)cm.
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