抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,顶点为C,对称轴交x轴于点D,点P为抛物线对称轴CD上的一动点(点P不与C,D重合).过点C作直线PB的垂线交PB于点E,交x轴于点F.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当△PCF的面积为5时,求点P的坐标;
(3)当△PCF为等腰三角形时,请直接写出点P的坐标.
解:(1)函数的表达式为:y=(x+1)(x﹣5)=﹣x2+x+;
(2)抛物线的对称轴为x=1,则点C(2,2),
设点P(2,m),
将点P、B的坐标代入一次函数表达式:y=sx+t并解得:
函数PB的表达式为:y=﹣mx+…①,
∵CE⊥PE,故直线CE表达式中的k值为,
将点C的坐标代入一次函数表达式,
同理可得直线CE的表达式为:y=…②,
联立①②并解得:x=2﹣,
故点F(2﹣,0),
S△PCF=×PC×DF=(2﹣m)(2﹣﹣2)=5,
解得:m=5或﹣3(舍去5),
故点P(2,﹣3);
(3)由(2)确定的点F的坐标得:
CP2=(2﹣m)2,CF2=()2+4,PF2=()2+m2,
①当CP=CF时,即:(2﹣m)=()2+4,解得:m=0或(均舍去),
②当CP=PF时,(2﹣m)2=()2+m2,解得:m=或3(舍去3),
③当CF=PF时,同理可得:m=±2(舍去2),
故点P(2,)或(2,﹣2).
登录并加入会员可无限制查看知识点解析