如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,且OA=4,OC=3,若抛物线经过O,A两点,且顶点在BC边上,对称轴交AC于点D,动点P在抛物线对称轴上,动点Q在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当PO+PC的值最小时,求点P的坐标;
(3)是否存在以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出P,Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,
∴A(4,0),C(0,3),
∵抛物线经过O、A两点,
∴抛物线的顶点的横坐标为2,
∵顶点在BC边上,
∴抛物线顶点坐标为(2,3),
设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3,
把(0,0)坐标代入可得0=a(0﹣2)2+3,解得a=,
∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2+3,
即y=x2+3x;
(2)连接PA,如图,
∵点P在抛物线对称轴上,
∴PA=PO,
∴PO+PC=PA+PC.
当点P与点D重合时,PA+PC=AC;
当点P不与点D重合时,PA+PC>AC;
∴当点P与点D重合时,PO+PC的值最小,
设直线AC的解析式为y=kx+b,
根据题意,得,解得
∴直线AC的解析式为y=﹣x+3,
当x=2时,y=﹣x+3=,则D(2,),
∴当PO+PC的值最小时,点P的坐标为(2,);
(3)存在.
当以AC为对角线时,当四边形AQCP为平行四边形,点Q为抛物线的顶点,即Q(2,3),则P(2,0);
当AC为边时,当四边形AQPC为平行四边形,点C向右平移2个单位得到P,则点A向右平移2个单位得到点Q,则Q点的横坐标为6,当x=6时,y=x2+3x=﹣9,此时Q(6,﹣9),则点A(4,0)向右平移2个单位,向下平移9个单位得到点Q,所以点C(0,3)向右平移2个单位,向下平移9个单位得到点P,则P(2,﹣6);
当四边形APQC为平行四边形,点A向左平移2个单位得到P,则点C向左平移2个单位得到点Q,则Q点的横坐标为﹣2,当x=﹣2时,y=x2+3x=﹣9,此时Q(﹣2,﹣9),则点C(0,3)向左平移2个单位,向下平移12个单位得到点Q,所以点A(4,0)向左平移2个单位,向下平移12个单位得到点P,则P(2,﹣12);
综上所述,P(2,0),Q(2,3)或P(2,﹣6),Q(6,﹣9)或P(2,﹣12),Q(﹣2,﹣9).
如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上,且BE平分∠ABC,∠ABE=∠ACD,BE,CD交于点F.
(1)求证:;
(2)请探究线段DE,CE的数量关系,并说明理由;
(3)若CD⊥AB,AD=2,BD=3,求线段EF的长.
解:(1)证明:∵∠ABE=∠ACD,∠A=∠A,
∴△ABE∽△ACD,
∴,
(2)∵,
∴,
又∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴∠AED=∠ABC,
∵∠AED=∠ACD+∠CDE,∠ABC=∠ABE+∠CBE,
∴∠ACD+∠CDE=∠ABE+∠CBE,
∵∠ABE=∠ACD,
∴∠CDE=∠CBE,
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE,
∴∠CDE=∠ABE=∠ACD,
∴DE=CE.
(3)∵CD⊥AB,
∴∠ADC=∠BDC=90°,
∴∠A+∠ACD=∠CDE+∠ADE=90°,
∵∠ABE=∠ACD,∠CDE=∠ACD,
∴∠A=∠ADE,∠BEC=∠ABE+∠A=∠A+∠ACD=90°,
∴AE=DE,BE⊥AC,
∵DE=CE,
∴AE=DE=CE,
∴AB=BC,
∵AD=2,BD=3,
∴BC=AB=AD+BD=5,
在Rt△BDC中,,
在Rt△ADC中,,
∴,
∵∠ADC=∠FEC=90°,
∴,
∴EF===.
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB上一点,以BD为直径的⊙O和AB相切于点P.
(1)求证:BP平分∠ABC;
(2)若PC=1,AP=3,求BC的长.
(1)证明:连接OP,
∵AC是⊙O的切线,
∴OP⊥AC,BC⊥AC,
∴OP∥BC,
∴∠OPB=∠PBC,
∵OP=OB,
∴∠OPB=∠OBP,
∴∠PBC=∠OBP,
∴BP平分∠ABC.
(2)作PH⊥AB于H.
∵PB平分∠ABC,PC⊥BC,PH⊥AB,
∴PC=PH=1,
在Rt△APH中,AH==2,
∵∠A=∠A,∠AHP=∠C=90°,
∴△APH∽△ABC,
∴=,
∴=,
∴AB=3,
∴BH=AB﹣AH=,
在Rt△PBC和Rt△PBH中,
,
∴Rt△PBC≌Rt△PBH,
∴BC=BH=.
某保健品厂每天生产A,B两种品牌的保健品共600瓶,A,B两种产品每瓶的成本和利润如表,设每天生产A产品x瓶,生产这两种产品每天共获利y元.
(1)请求出y关于x的函数关系式;
(2)如果该厂每天至少投入成本26 400元,那么每天至少获利多少元?
(3)该厂每天生产的A,B两种产品被某经销商全部订购,厂家对A产品进行让利,每瓶利润降低元,厂家如何生产可使每天获利最大?最大利润是多少?
A | B | |
成本(元/瓶) | 50 | 35 |
利润(元/瓶) | 20 | 15 |
解:(1)根据题意可得:
y=20x+15(600﹣x)
=5x+9000.
∴y关于x的函数关系式为y=5x+9000;[来源:Zxxk.Com]
(2)根据题意,得:
50 x+35(600﹣x)≥26400,
解得:x≥360,
∵y=5x+9000,5>0,
∴y随x的增大而增大,
∴当x=360时,y有最小值为10800,
∴每天至少获利10800元;
(3)根据题意可得:[来源:学科网]
y=(20﹣)x+15(600﹣x)
=﹣(x﹣250)2+9625,
∵,∴当x=250时,y有最大值9625,
∴每天生产A产品250件,B产品350件获利最大,最大利润为9625元.
如图,反比例函数y=(x>0)的图象与一次函数y=3x的图象相交于点A,其横坐标为2.
(1)求k的值;
(2)点B为此反比例函数图象上一点,其纵坐标为3.过点B作CB∥OA,交x轴于点C,求点C的坐标.
解:(1)∵点A在直线y=3x上,其横坐标为2.
∴y=3×2=6,
∴A(2,6),
把点A(2,6)代入,得,
解得:k=12.
(2)由(1)得:,
∵点B为此反比例函数图象上一点,其纵坐标为3,
∴,解得x=4,
∴B(4,3),
∵CB∥OA,
∴设直线BC的解析式为y=3x+b,
把点B(4,3)代入y=3x+b,得3×4+b=3,解得:b=﹣9,
∴直线BC的解析式为y=3x﹣9,
当y=0时,3x﹣9=0,解得:x=3,
∴C(3,0).
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