如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点A,C分别在x轴,y轴的正半轴上,且OA=4,OC=3,若抛物线经过O,A两点,且顶点在BC边上,对称轴交AC于点D,动点P在抛物线对称轴上,动点Q在抛物线上.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当PO+PC的值最小时,求点P的坐标;
(3)是否存在以A,C,P,Q为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出P,Q的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)在矩形OABC中,OA=4,OC=3,
∴A(4,0),C(0,3),
∵抛物线经过O、A两点,
∴抛物线的顶点的横坐标为2,
∵顶点在BC边上,
∴抛物线顶点坐标为(2,3),
设抛物线解析式为y=a(x﹣2)2+3,
把(0,0)坐标代入可得0=a(0﹣2)2+3,解得a=,
∴抛物线解析式为y=(x﹣2)2+3,
即y=x2+3x;
(2)连接PA,如图,
∵点P在抛物线对称轴上,
∴PA=PO,
∴PO+PC=PA+PC.
当点P与点D重合时,PA+PC=AC;
当点P不与点D重合时,PA+PC>AC;
∴当点P与点D重合时,PO+PC的值最小,
设直线AC的解析式为y=kx+b,
根据题意,得,解得
∴直线AC的解析式为y=﹣x+3,
当x=2时,y=﹣x+3=,则D(2,),
∴当PO+PC的值最小时,点P的坐标为(2,);
(3)存在.
当以AC为对角线时,当四边形AQCP为平行四边形,点Q为抛物线的顶点,即Q(2,3),则P(2,0);
当AC为边时,当四边形AQPC为平行四边形,点C向右平移2个单位得到P,则点A向右平移2个单位得到点Q,则Q点的横坐标为6,当x=6时,y=x2+3x=﹣9,此时Q(6,﹣9),则点A(4,0)向右平移2个单位,向下平移9个单位得到点Q,所以点C(0,3)向右平移2个单位,向下平移9个单位得到点P,则P(2,﹣6);
当四边形APQC为平行四边形,点A向左平移2个单位得到P,则点C向左平移2个单位得到点Q,则Q点的横坐标为﹣2,当x=﹣2时,y=x2+3x=﹣9,此时Q(﹣2,﹣9),则点C(0,3)向左平移2个单位,向下平移12个单位得到点Q,所以点A(4,0)向左平移2个单位,向下平移12个单位得到点P,则P(2,﹣12);
综上所述,P(2,0),Q(2,3)或P(2,﹣6),Q(6,﹣9)或P(2,﹣12),Q(﹣2,﹣9).
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