已知,如图,AD是△ABC中∠BAC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC垂足分别是E、F。
求证:(1)AE=AF,AD平分∠EDF;
(2)请你猜想,AD与EF有何关系,并证明你的结论。
证明:(1)在△AED和△AFD中,∵AD是∠BAC的角平分线,
∴∠EAD=∠FA,又DE⊥AB,DF⊥AC
∴∠AED=∠AFD=90°,AD为公共边,∠ADE=∠ADF
∴△AED≌△AFD(ASA)
∴AE=AF
又∠ADE=∠ADF,∴AD平分∠EDF
(2)AD与EF垂直
在△AEO和△AFO中
AE=AF,∠EAO=∠FAO,OA为公共边
∴△AEO≌△AFO(SAS)
∴∠AOE=∠AOF,而∠AOE+∠AOF=180°,
∴∠AOE=∠AOF=90°
∴AO⊥EF即AD⊥EF。
全等三角形的性质:
1.全等三角形的对应角相等。
2.全等三角形的对应边相等。
3.全等三角形的对应边上的高对应相等。
4.全等三角形的对应角的角平分线相等。
5.全等三角形的对应边上的中线相等。
6.全等三角形面积相等。
7.全等三角形周长相等。
8.全等三角形的对应角的三角函数值相等。
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