如图，在 中，
，
，
．动点
从点
出发，以
的速度沿边
向终点
匀速运动．以
为一边作
，另一边
与折线
相交于点
，以
为边作菱形
，点
在线段
上．设点
的运动时间为
，菱形
与
重叠部分图形的面积为
．
(1) 当点 在边
上时，
的长为
；（用含
的代数式表示）
(2) 当点 落在边
上时，求
的值；
(3) 求 关于
的函数解析式，并写出自变量
的取值范围．
答案
(1)2 x
(2)1
(3)
【分析】（ 1 ）先证明 ∠ A =∠ AQP =30° ，即 AP = PQ ，根据题意有 AP =2 x ，即 PQ =2 x ；
（ 2 ）当 M 点在 BC 上， Q 点在 AC 上，在（ 1 ）中已求得 AP = PQ =2 x ，再证明 △ MNB 是等边三角形，即有 BN = MN ，根据 AB =6 x =6cm ，即有 x =1 （ s ）；
（ 3 ）分类讨论：当 时，此时菱形 PQMN 在 △ ABC 的内部，此时菱形 PQMN 与 △ ABC 重叠的面积即是菱形 PQMN 的面积，过 Q 点作 QG ⊥ AB 于 G 点，求出菱形的面积即可；当 x ＞ 1 ，且 Q 点在线段 AC 上时，过 Q 点作 QG ⊥ AB 于 G 点，设 QM 交 BC 于 F 点， MN 交 BC 于 E 点，过 M 点作 NH ⊥ EF 于 H 点，先证明 △ ENB 是等边三角形、 △ MEF 是等边三角形，重叠部分是菱形 PQMN 的面积减去等边 △ MEF 的面积，求出菱形 PQMN 的面积和等边 △ MEF 的面积即可，此时需要求出当 Q 点在 C 点时的临界条件；当
时，此时 Q 点在线段 BC 上，此时 N 点始终与 B 点重合，过 Q 点作 QG ⊥ AB 于 G 点，重叠部分的面积就是 △ PBQ 的面积，求出等边 △ PBQ 的面积即可．
【详解】（ 1 ）当 Q 点在 AC 上时，
∵∠ A =30° ， ∠ APQ =120° ，
∴∠ AQP =30° ，
∴∠ A =∠ AQP ，
∴ AP = PQ ，
∵ 运动速度为每秒 2cm ，运动时间为 x 秒，
∴ AP =2 x ，
∴ PQ =2 x ；
（ 2 ）当 M 点在 BC 上， Q 点在 AC 上，如图，
在（ 1 ）中已求得 AP = PQ =2 x ，
∵ 四边形 QPMN 是菱形，
∴ PQ = PN = MN =2 x ， ，
∵∠ APQ =120° ，
∴∠ QPB =60° ，
∵ ，
∴∠ MNB =∠ QPB =60° ，
∵ 在 Rt △ ABC 中， ∠ C =90° ， ∠ A =30° ，
∴∠ B =60° ，
∴△ MNB 是等边三角形，
∴ BN = MN ，
∴ AB = AP + PN + BN =2 x ×3=6 x =6cm ，
∴ x =1 （ s ）；
（ 3 ）当 P 点运动到 B 点时，用时 6÷2=3 （ s ），
即 x 的取值范围为： ，
当 M 点刚好在 BC 上时，
在（ 2 ）中已求得此时 x =1 ，
分情况讨论，
即当 时，此时菱形 PQMN 在 △ ABC 的内部，
∴ 此时菱形 PQMN 与 △ ABC 重叠的面积即是菱形 PQMN 的面积，
过 Q 点作 QG ⊥ AB 于 G 点，如图，
∵∠ APQ =120° ，
∴∠ QPN =60° ，即菱形 PQMN 的内角 ∠ QPN =∠ QMN =60° ，
∴ QG = PQ ×sin∠ QPN =2 x ×sin60°= ，
∴ 重叠的面积等于菱形 PQMN 的面积为，即为： ；
当 x ＞ 1 ，且 Q 点在线段 AC 上时，
过 Q 点作 QG ⊥ AB 于 G 点，设 QM 交 BC 于 F 点， MN 交 BC 于 E 点，过 M 点作 NH ⊥ EF 于 H 点，如图，
∵ ，
∴∠ MNB =∠ QPN =60 ，
∵∠ B =60° ，
∴△ ENB 是等边三角形，
同理可证明 △ MEF 是等边三角形
∴ BN = NE ， ∠ MEF =60° ， ME = EF ，
∵ AP = PQ = PN = MN =2 x ， AB =6 ，
∴ BN =6- AN =6-4 x ，
∴ ME = MN - NE =2 x - BN =6 x -6 ，
∵ MH ⊥ EF ，
∴ MH = ME ×sin∠ MEH =(6 x -6)×sin60°= ，
∴△ MEF 的面积为： ，
QG = PQ ×sin∠ QPN =2 x ×sin60°= ，
∵ 菱形 PQMN 的面积为 ，
∴ 重叠部分的面积为 ，
当 Q 点与 C 点重合时，可知此时 N 点与 B 点重合，如图，
∵∠ CPB =∠ CBA =60° ，
∴△ PBC 是等边三角形，
∴ PC = PB ，
∵ AP = PQ =2 x ，
∴ AP = PB =2 x ，
∴ AB = AP + PB =4 x =6 ，
则 x = ，
即此时重合部分的面积为： ，
；
当 时，此时 Q 点在线段 BC 上，此时 N 点始终与 B 点重合，过 Q 点作 QG ⊥ AB 于 G 点，如图，
∵ AP =2 x ，
∴ PB = AB - AP =6-2 x ，
∵∠ QPB =∠ ABC =60° ，
∴△ PQB 是等边三角形，
∴ PQ = PB ，同时印证菱形 PQMN 的顶点 N 始终与 B 点重合，
∴ QG = PQ ×sin∠ QPN =(6-2 x )×sin60°= ，
∴ ，
∴ 此时重叠部分的面积 ，
综上所述： ．
【点睛】本题考查了一次函数的应用、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，理清运动过程中 Q 点的位置以及菱形 PQMN 的位置是解答本题的关键．解答本题需要注意分类讨论的思想．
