在数学兴趣小组活动中，同学们对菱形的折叠问题进行了探究．如图（ 1 ），在菱形 中，
为锐角，
为
中点，连接
，将菱形
沿
折叠，得到四边形
，点
的对应点为点
，点
的对应点为点
．
(1) 【观察发现】 与
的位置关系是 ______ ；
(2) 【思考表达】连接 ，判断
与
是否相等，并说明理由；
(3) 如图（ 2 ），延长 交
于点
，连接
，请探究
的度数，并说明理由；
(4) 【综合运用】如图（ 3 ），当 时，连接
，延长
交
于点
，连接
，请写出
、
、
之间的数量关系，并说明理由．
答案
(1) ；
(2) ，理由见解析；
(3) ，理由见解析；
(4) ，理由见解析．
【分析】（ 1 ）利用菱形的性质和翻折变换的性质判断即可；
（ 2 ）连接 ，
，由
可知点 B 、
、 C 在以
为直径 , E 为圆心的圆上，则
，由翻折变换的性质可得
，证明
，可得结论；
（ 3 ）连接 ，
，
，延长
至点 H ，求出
，
，可得
，然后证明
，可得
，进而得到
即可解决问题．
（ 4 ）延长 交
的延长线于点
，过点
作
交
的延长线于点
，设
，
，解直角三角形求出
，
，利用勾股定理求出
，然后根据相似三角形的判定和性质及平行线分线段成比例求出
，
，再根据勾股定理列式即可得出结论．
【详解】（ 1 ）解： ∵ 在菱形 中，
，
∴ 由翻折的性质可知， ，
故答案为： ；
（ 2 ）解： ，
理由：如图，连接 ，
，
∵ 为
中点，
∴ ，
∴ 点 B 、 、 C 在以
为直径 , E 为圆心的圆上，
∴ ，
∴ ，
由翻折变换的性质可知 ，
∴ ，
∴ ；
（ 3 ）解：结论： ；
理由：如图，连接 ，
，
，延长
至点 H ，
由翻折的性质可知 ，
设 ，
，
∵ 四边形 是菱形，
∴ ，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，点 B 、
、 C 在以
为直径 , E 为圆心的圆上，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（ 4 ）解：结论： ，
理由：如图，延长 交
的延长线于点
，过点
作
交
的延长线于点
，
设 ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
在 中，则有
，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，翻折变换，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．
