如图 1 ，隧道截面由抛物线的一部分 AED 和矩形 ABCD 构成，矩形的一边 BC 为 12 米，另一边 AB 为 2 米．以 BC 所在的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系 xOy ，规定一个单位长度代表 1 米． E （ 0 ， 8 ）是抛物线的顶点．

(1) 求此抛物线对应的函数表达式；

(2) 在隧道截面内（含边界）修建 “ ” 型或 “ ” 型栅栏，如图 2 、图 3 中粗线段所示，点 ， 在 x 轴上， MN 与矩形 的一边平行且相等．栅栏总长 l 为图中粗线段 ， ， ， MN 长度之和．请解决以下问题：

（ ⅰ ）修建一个 “ ” 型栅栏，如图 2 ，点 ， 在抛物线 AED 上．设点 的横坐标为 ，求栅栏总长 l 与 m 之间的函数表达式和 l 的最大值；

（ ⅱ ）现修建一个总长为 18 的栅栏，有如图 3 所示的修建 “ ” 型或 “ ” 型栅型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形 面积的最大值，及取最大值时点 的横坐标的取值范围（ 在 右侧）．

答案

(1) y ＝ x ² ＋ 8

(2) （ ⅰ ） l ＝ m ² ＋ 2 m ＋ 24 ， l 的最大值为 26 ；（ ⅱ ）方案一：最大面积 27 ， ＋ 9≤ P ₁ 横坐标 ≤ ；方案二：最大面积 ＋ ≤ P ₁ 横坐标 ≤

【分析】（ 1 ）通过分析 A 点坐标，利用待定系数法求函数解析式；

（ 2 ）（ ⅰ ）结合矩形性质分析得出 P ₂ 的坐标为（ m ，－ m ² ＋ 8 ），然后列出函数关系式，利用二次函数的性质分析最值；

（ ⅱ ）设 P ₂ P ₁ ＝ n ，分别表示出方案一和方案二的矩形面积，利用二次函数的性质分析最值，从而利用数形结合思想确定取值范围．

【详解】（ 1 ）由题意可得： A （－ 6 ， 2 ）， D （ 6 ， 2 ），

又 ∵ E （ 0 ， 8 ）是抛物线的顶点，

设抛物线对应的函数表达式为 y ＝ ax ² ＋ 8 ，将 A （－ 6 ， 2 ）代入，

（－ 6 ） ² a ＋ 8 ＝ 2 ，

解得： a ＝ ，

∴ 抛物线对应的函数表达式为 y ＝ x ² ＋ 8 ；

（ 2 ）（ ⅰ ） ∵ 点 P ₁ 的横坐标为 m （ 0 ＜ m ≤6 ），且四边形 P ₁ P ₂ P ₃ P ₄ 为矩形，点 P ₂ ， P ₃ 在抛物线 AED 上，

∴ P ₂ 的坐标为（ m ， m ² ＋ 8 ），

∴ P ₁ P ₂ ＝ P ₃ P ₄ ＝ MN ＝ m ² ＋ 8 ， P ₂ P ₃ ＝ 2 m ，

∴ l ＝ 3 （ m ² ＋ 8 ）＋ 2 m ＝ m ² ＋ 2 m ＋ 24 ＝ （ m － 2 ） ² ＋ 26 ，

∵ ＜ 0 ，

∴ 当 m ＝ 2 时， l 有最大值为 26 ，

即栅栏总长 l 与 m 之间的函数表达式为 l ＝ m ² ＋ 2 m ＋ 24 ， l 的最大值为 26 ；

（ ⅱ ）方案一：设 P ₂ P ₁ ＝ n ，则 P ₂ P ₃ ＝ 18 － 3 n ，

∴ 矩形 P ₁ P ₂ P ₃ P ₄ 面积为（ 18 － 3 n ） n ＝－ 3 n ² ＋ 18 n ＝－ 3 （ n － 3 ） ² ＋ 27 ，

∵ － 3 ＜ 0 ，

∴ 当 n ＝ 3 时，矩形面积有最大值为 27 ，

此时 P ₂ P ₁ ＝ 3 ， P ₂ P ₃ ＝ 9 ，

令 x ² ＋ 8 ＝ 3 ，

解得： x ＝ ，

∴ 此时 P ₁ 的横坐标的取值范围为 ＋ 9≤ P ₁ 横坐标 ≤ ，

方案二：设 P ₂ P ₁ ＝ n ，则 P ₂ P ₃ ＝ 9 － n ，

∴ 矩形 P ₁ P ₂ P ₃ P ₄ 面积为（ 9 － n ） n ＝－ n ² ＋ 9 n ＝－（ n － ） ² ＋ ，

∵ － 1 ＜ 0 ，

∴ 当 n ＝ 时，矩形面积有最大值为 ，

此时 P ₂ P ₁ ＝ ， P ₂ P ₃ ＝ ，

令 x ² ＋ 8 ＝ ，

解得： x ＝ ，

∴ 此时 P ₁ 的横坐标的取值范围为 ＋ ≤ P ₁ 横坐标 ≤ ．

【点睛】本题考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式，准确识图，确定关键点的坐标，利用数形结合思想解题是关键．