【情境再现】

甲、乙两个含角的直角三角尺如图 ① 放置，甲的直角顶点放在乙斜边上的高的垂足 O 处，将甲绕点 O 顺时针旋转一个锐角到图 ② 位置．小莹用作图软件 Geogebra 按图 ② 作出示意图，并连接，如图 ③ 所示，交于 E ，交于 F ，通过证明，可得．

请你证明：．

【迁移应用】

延长分别交所在直线于点 P ， D ，如图 ④ ，猜想并证明与的位置关系．

【拓展延伸】

小亮将图 ② 中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图 ⑤ ，按图 ⑤ 作出示意图，并连接，如图 ⑥ 所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系．

答案

证明见解析；垂直；

【分析】证明，即可得出结论；通过，可以求出，得出结论；证明，得出，得出结论；

【详解】证明：，

，

；

迁移应用：，

证明：，

，

；

拓展延伸：，

证明：在中，，

在中，，

，

由上一问题可知，，

，

．

【点睛】本题考查旋转变换，涉及知识点：全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质、锐角三角函数、等角的余角相等，解题关键结合图形灵活应用相关的判定与性质．

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八上第十二章全等三角形

三角形全等的判定

试题详情

难度：

使用次数：194

更新时间：2023-03-27

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【情境再现】

请你证明：．

【迁移应用】

延长分别交所在直线于点 P ， D ，如图 ④ ，猜想并证明与的位置关系．

【拓展延伸】

小亮将图 ② 中的甲、乙换成含角的直角三角尺如图 ⑤ ，按图 ⑤ 作出示意图，并连接，如图 ⑥ 所示，其他条件不变，请你猜想并证明与的数量关系．

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题型：解答题

知识点：三角形全等的判定

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【答案】

证明见解析；垂直；

【分析】证明，即可得出结论；通过，可以求出，得出结论；证明，得出，得出结论；

【详解】证明：，

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迁移应用：，

证明：，

，

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拓展延伸：，

证明：在中，，

在中，，

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由上一问题可知，，

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．

考点梳理:

根据可圈可点权威老师分析，试题“ ”主要考查你对三角形全等的判定等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下：

◎ 三角形全等的判定的定义

三角形全等判定定理：
1、三组对应边分别相等的两个三角形全等(简称SSS或“边边边”)，这一条也说明了
三角形具有稳定性的原因。
2、有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等(SAS或“边角边”)。
3、有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等(ASA或“角边角”)。
4、有两角及一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS或“角角边”)
5、直角三角形全等条件有：斜边及一直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL或“斜边，直角边”) 所以：SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。
注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

◎ 三角形全等的判定的知识扩展

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）；
（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）；
（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）；
（4）角角边定理：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（简称“AAS”）；
（5）HL定理：斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）。

◎ 三角形全等的判定的特性

三角形全等的判定公理及推论：
(1)“边角边”简称“SAS”
(2)“角边角”简称“ASA”
(3)“边边边”简称“SSS”
(4)“角角边”简称“AAS”
注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

要验证全等三角形，不需验证所有边及所有角也对应地相同。
以下判定，是由三个对应的部分组成，即全等三角形可透过以下定义来判定：
①S.S.S. (边、边、边)：
各三角形的三条边的长度都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
②S.A.S. (边、角、边)：
各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
③A.S.A. (角、边、角)：
各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
④A.A.S. (角、角、边)：
各三角形的其中两个角都对应地相等，且没有被两个角夹着的边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。
⑤R.H.S. / H.L. (直角、斜边、边)：
各三角形的直角、斜边及另外一条边都对应地相等的话，该两个三角形就是全等。但并非运用任何三个相等的部分便能判定三角形是否全等。以下的判定同样是运用两个三角形的三个相等的部分，但不能判定全等三角形：
⑥A.A.A. (角、角、角)：
各三角形的任何三个角都对应地相等，但这并不能判定全等三角形，但则可判定相似三角形。
⑦A.S.S. (角、边、边)：
各三角形的其中一个角都相等，且其余的两条边(没有夹着该角)，但这并不能判定全等三角形，除非是直角三角形。
但若是直角三角形的话，应以R.H.S.来判定。

◎ 三角形全等的判定的知识点拨

解题技巧：
一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。
因此我们可以来采取逆思维的方式。
来想要证全等，则需要什么条件:要证某某边等于某某边，那么首先要证明含有那两个边的三角形全等。
然后把所得的等式运用（AAS/ASA/SAS/SSS/HL）证明三角形全等。
有时还需要画辅助线帮助解题。常用的辅助线有：倍长中线，截长补短等。
分析完毕以后要注意书写格式，在全等三角形中，如果格式不写好那么就容易出现看漏的现象。

◎ 三角形全等的判定的教学目标

1、掌握全等三角形全等的判定法；
2、能够恰当选择全等三角形的判定方法判定两个三角形全等；
3、通过画图、实验、发现、应用的过程教学，树立知识源于实践用于实践的观念，体会探索发现问题的过程。

◎ 三角形全等的判定的考试要求

能力要求：掌握
课时要求：80
考试频率：常考
分值比重：6

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