如图 1 ,平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 与 x 轴分则点 A 和点
,与 y 轴交于点 C ,对称轴为直线
,且
, P 为抛物线上一动点.
(1) 直接写出抛物线的解析式;
(2) 如图 2 ,连接 AC ,当点 P 在直线 AC 上方时,求四边形 PABC 面积的最大值,并求出此时 P 点的坐标;
(3) 设 M 为抛物线对称轴上一动点,当 P , M 运动时,在坐标轴上是否存在点 N ,使四边形 PMCN 为矩形?若存在,直接写出点 P 及其对应点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)
(2) , P 点的坐标为
(3) 存在, ,
;
,
;
,
【分析】( 1 )根据已知条件,列出方程组求出 a , b , c 的值即可;
( 2 )方法一:设 ,四边形 PABC 的面积
,用 m 表示出 S ,并求出 S 的最大值与此时 P 点的坐标;
方法二:易知 ,
,故直线 AC 的方程为
,设
,表示出 PQ ,并用 x 表示出 △ APC 的面积,再表示出 S ,并求出 S 的最大值与此时 P 点的坐标;
( 3 )根据题目要求,分类讨论当当 N 在 y 轴上时;当 N 在 x 轴负半轴上时,设 ,用 t 表示出点 P 的坐标,解出 t ,写出点 P 及其对应点 N 的坐标.
【详解】( 1 )解: ∵ ,
∴ ,
,
∵ ,对称轴为直线
,
,
∴ ,解得
,
∴ 抛物线的解析式为: .
( 2 )解:方法一:连接 OP ,
设 ,易知
,
,
∵ ,
,
∴ 四边形 PABC 的面积 ,
∴
又 ∵ ,
∴
∴ 当 时,
,
∴ 此时 P 点的坐标为 ;
方法二:易知 ,
,故直线 AC 的方程为
设 ,
∵ 过点 P 作 PQ ⊥ x 轴,交 AC 于点 Q ,
∴ ,
∵ 点 P 在 AC 上方,
∴ ,
∴
,
∴ 四边形 PABC 面积 ,
∴ 当 时, S 有最大值
,
∴ 此时 P 点的坐标为 .
( 3 )存在点 N .
① 当 N 在 y 轴上时,
∵ 四边形 PMCN 为矩形,
此时, ,
;
② 当 N 在 x 轴负半轴上时,如图所示,四边形 PMCN 为矩形,过 M 作 y 轴的垂线,垂足为 D ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 E ,设 ,则
,
∴ ,
∵ 四边形 PMCN 为矩形,
∴ ,
,
∵ ,
,
∴ ,
又 ∵ ,
∴ ,
∴ ,
又 ∵ 点 M 在对称轴上, ,
∴ ,
∴ ,即
,
∵ ,
,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
,
∴ ,
∴ P 点的坐标为 ,
∵ P 点在抛物线 上,
∴
解得 ,
(舍),
∴ ,
;
③ 当 N 在 x 轴正半轴上时,如图所示,四边形 PMCN 为矩形,过 M 作 y 轴的垂线,垂足为 D ,过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 E ,设 ,则
,
∴ ,
∵ 四边形 PMCN 为矩形时,
∴ ,
,
∵ ,
,
∴ ,
又 ∵ ,
∴ ,
∴ ,
又 ∵ 点 M 在对称轴上, ,
∴ ,
∴ ,即
,
∵ ,
,
∴ ,
∴ ,
∴ ,
,
∴ ,
∴ P 点的坐标为 ,
∵ P 点在抛物线 上,
∴
解得 (舍),
,
∴ ,
,
综上: ,
;
,
;
,
【点睛】本题考查 用待定系数法求二次函数、 二次函数综合问题,矩形的性质与判定, 二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.
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