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九上 第二十二章 二次函数
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二次函数的图象和性质
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使用次数:264
更新时间:2023-03-06
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1.

如图 1 ,平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 x 轴分则点 A 和点 ,与 y 轴交于点 C ,对称轴为直线 ,且 P 为抛物线上一动点.

(1) 直接写出抛物线的解析式;

(2) 如图 2 ,连接 AC ,当点 P 在直线 AC 上方时,求四边形 PABC 面积的最大值,并求出此时 P 点的坐标;

(3) M 为抛物线对称轴上一动点,当 P M 运动时,在坐标轴上是否存在点 N ,使四边形 PMCN 为矩形?若存在,直接写出点 P 及其对应点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.

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知识点:二次函数的图象和性质
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【答案】

(1)

(2) P 点的坐标为

(3) 存在,

【分析】( 1 )根据已知条件,列出方程组求出 a b c 的值即可;

2 )方法一:设 ,四边形 PABC 的面积 ,用 m 表示出 S ,并求出 S 的最大值与此时 P 点的坐标;

方法二:易知 ,故直线 AC 的方程为 ,设 ,表示出 PQ ,并用 x 表示出 APC 的面积,再表示出 S ,并求出 S 的最大值与此时 P 点的坐标;

3 )根据题目要求,分类讨论当当 N y 轴上时;当 N x 轴负半轴上时,设 ,用 t 表示出点 P 的坐标,解出 t ,写出点 P 及其对应点 N 的坐标.

【详解】( 1 )解:

,对称轴为直线

,解得

抛物线的解析式为:

2 )解:方法一:连接 OP

,易知

四边形 PABC 的面积

时,

此时 P 点的坐标为

方法二:易知 ,故直线 AC 的方程为

过点 P PQ x 轴,交 AC 于点 Q

P AC 上方,

四边形 PABC 面积

时, S 有最大值

此时 P 点的坐标为

3 )存在点 N

N y 轴上时,

四边形 PMCN 为矩形,

此时,

N x 轴负半轴上时,如图所示,四边形 PMCN 为矩形,过 M y 轴的垂线,垂足为 D ,过 P x 轴的垂线,垂足为 E ,设 ,则

四边形 PMCN 为矩形,

M 在对称轴上,

,即

P 点的坐标为

P 点在抛物线 上,

解得 (舍),

N x 轴正半轴上时,如图所示,四边形 PMCN 为矩形,过 M y 轴的垂线,垂足为 D ,过 P x 轴的垂线,垂足为 E ,设 ,则

四边形 PMCN 为矩形时,

M 在对称轴上,

,即

P 点的坐标为

P 点在抛物线 上,

解得 (舍),

综上:

【点睛】本题考查 用待定系数法求二次函数、 二次函数综合问题,矩形的性质与判定, 二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行计算是解此题的关键.

=
考点梳理:
根据可圈可点权威老师分析,试题“ ”主要考查你对 二次函数的定义 等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下:
◎ 二次函数的定义的定义
定义:
一般地,如果(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数(a≠0)中x、y是变量,a,b,c是常数,自变量x 的取值范围是全体实数,b和c可以是任意实数,a是不等于0的实数,因为a=0时,变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数,若b=0,则y=c是一个常数函数。
③二次函数(a≠0)与一元二次方程(a≠0)有密切联系,如果将变量y换成一个常数,那么这个二次函数就是一个一元二次函数。
◎ 二次函数的定义的知识扩展
1、定义:一般地,如果(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x 的二次函数。
2、二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式:(a,b,c是常数,a≠0);
(2)顶点式: (a,h,k是常数,a≠0)
(3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。如果没有交点,则不能这样表示。
◎ 二次函数的定义的特性
二次函数的解析式有三种形式:
(1)一般式:(a,b,c是常数,a≠0);
(2)顶点式: (a,h,k是常数,a≠0)
(3)当抛物线与x轴有交点时,即对应二次好方程有实根x1和x2存在时,根据二次三项式的分解因式,二次函数可转化为两根式。如果没有交点,则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征:
①函数的关系式是整式;
②自变量的最高次数是2;
③二次项系数不等于零。
◎ 二次函数的定义的知识点拨
二次函数的判定:
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式;
当b=0,c=0时,y=ax2是特殊的二次函数;
判断一个函数是不是二次函数,在关系式是整式的前提下,如果把关系式化简整理(去括号、合并同类项)后,能写成(a≠0)的形式,那么这个函数就是二次函数,否则就不是。
◎ 二次函数的定义的教学目标
1、知识与技能:使学生理解二次函数的概念,掌握根据实际问题列出二次函数关系式的方法。
2、过程与方法:通过二次函数定义的教学,培养学生善于观察、发现、探索、归纳问题的能力。
3、情感、态度与价值观:培养学生主动探索,敢于实践,勇于发现,合作交流的精神。
◎ 二次函数的定义的考试要求
能力要求:知道
课时要求:30
考试频率:少考
分值比重:2

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