已知菱形 中，
是边
的中点，
是边
上一点．
(1) 如图 1 ，连接 ，
．
，
．
① 求证： ；
② 若 ，求
的长；
(2) 如图 2 ，连接 ，
．若
，
，求
的长．
答案
(1)① 见解析； ②
(2)
【分析】（ 1 ） ① 根据 可证得：
，即可得出结论；
② 连接 ，可证得
是等边三角形，即可求出
；
（ 2 ）延长 交
的延长线于点
，根据
可证得
，可得出
，
，
，则
，即可证得
，即可得出
的长．
【详解】（ 1 ）（ 1 ） ①∵ ，
，
∴ ，
∵ 四边形 是菱形，
∴ ，
，
∴ ，
∴ .
② 如图，连接 .
∵ 是边
的中点，
，
∴ ，
又由菱形 ，得
，
∴ 是等边三角形，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ .
（ 2 ）如图，延长 交
的延长线于点
，
由菱形 ，得
，
，
∴ ，
，
∵ 是边
的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∵ ，
，
∴ ，
，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
，
∴ ，而
为公共角 .
∴ ，
∴ ，
又 ∵ ，
∴ .
【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，锐角三角函数求线段长度，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键 .
