如图，在菱形 ABCD 中， ∠ BAD = 120° ， AB = 6 ，连接 BD ．
(1) 求 BD 的长；
(2) 点 E 为线段 BD 上一动点（不与点 B ， D 重合）， 点 F 在边 AD 上，且 BE = DF ，
① 当 CE 丄 AB 时，求四边形 ABEF 的面积；
② 当四边形 ABEF 的面积取得最小值时， CE + CF 的值是否也最小？如果是，求 CE +
CF 的最小值；如果不是，请说明理由．
答案
(1) ；
(2)① 四边形 ABEF 的面积为 ； ② 最小值为 12
【分析】（ 1 ）证明 △ ABC 是等边三角形，可得 BO = ，即可求解；
（ 2 ）过点 E 作 AD 的垂线，分别交 AD 和 BC 于点 M ， N ， 根据菱形的面积可求出 MN = ，设 BE =
，则 EN =
，从而得到 EM = MN - EN =
，再由 BE =
DF ，可得 DF =
，从而得到四边形 ABEF 的面积 s = S △ ABD - S △ DEF
， ① 当 CE ⊥ AB 时，可得点 E 是 △ ABC 重心，从而得到 BE = CE =
BO =
，即可求解； ② 作 CH ⊥ AD 于 H ，可得当点 E 和 F 分别到达点 O 和点 H 位置时， CF 和 CE 分别达到最小值；再由
，可得当
，即 BE =
时， s 达到最小值，从而得到此时点 E 恰好在点 O 的位置，而点 F 也恰好在点 H 位置，即可求解．
【详解】（ 1 ）解 ∶ 连接 AC ，设 AC 与 BD 的交点为 O ，如图，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC ⊥ BD ， OA = OC ， AB ∥ CD ， AC 平分 ∠ DAB ，
∵∠ BAD = 120° ，
∴∠ CAB =60° ，
∴△ ABC 是等边三角形，
∴ BO = AB ▪sin60°= =
，
∴ BD =2 BO = ；
（ 2 ）解：如图，过点 E 作 AD 的垂线，分别交 AD 和 BC 于点 M ， N ，
∵△ ABC 是等边三角形，
∴ AC = AB =6 ，
由（ 1 ）得： BD = ；
菱形 ABCD 中，对角线 BD 平分 ∠ ABC ， AB ∥ CD ， BC = AB =6 ，
∴ MN ⊥ BC ，
∵∠ BAD =120° ，
∴∠ ABC =60° ，
∴∠ EBN =30° ；
∴ EN = BE
∵ ，
∴ MN = ，
设 BE = ，则 EN =
，
∴ EM = MN - EN = ，
∵ S 菱形 ABCD = AD ▪ MN = ，
∴ S △ ABD = S 菱形 ABCD =
，
∵ BE = DF ，
∴ DF = ，
∴ S △ DEF = DF ▪ EM =
=
，
记四边形 ABEF 的面积为 s ，
∴ s = S △ ABD - S △ DEF = - （
）
，
∵ 点 E 在 BD 上，且不在端点， ∴0< BE < BD ，即 ；
① 当 CE ⊥ AB 时，
∵ OB ⊥ AC ，
∴ 点 E 是 △ ABC 重心，
∴ BE = CE = BO =
，
此时 =
，
∴ 当 CE ⊥ AB 时，四边形 ABEF 的面积为 ；
② 作 CH ⊥ AD 于 H ，如图，
∵ CO ⊥ BD ， CH ⊥ AD ，而点 E 和 F 分别在 BD 和 AD 上，
∴ 当点 E 和 F 分别到达点 O 和点 H 位置时， CF 和 CE 分别达到最小值；
在菱形 ABCD 中， AB ∥ CD ， AD = CD ，
∵∠ BAD =120° ，
∴∠ ADC =60° ，
∴△ ACD 是等边三角形，
∴ AH = DH =3 ，
∴ CH = ，
∵ ，
∴ 当 ，即 BE =
时， s 达到最小值，
∵ BE = DF ，
∴ DF =3 ，
此时点 E 恰好在点 O 的位置，而点 F 也恰好在点 H 位置，
∴ 当四边形 ABEF 面积取得最小值时， CE 和 CF 也恰好同时达到最小值，
∴ CE + CF 的值达到最小，
其最小值为 CO + CH =
=12 ．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质，二次函数的性质，三角形的重心，解直角三角形等知识是解题的关键．
