已知：点 C ， D 均在直线 l 的上方， 与
都是直线 l 的垂线段，且
在
的右侧，
，
与
相交于点 O ．
(1) 如图 1 ，若连接 ，则
的形状为 ______ ，
的值为 ______ ；
(2) 若将 沿直线 l 平移，并以
为一边在直线 l 的上方作等边
．
① 如图 2 ，当 与
重合时，连接
，若
，求
的长；
② 如图 3 ，当 时，连接
并延长交直线 l 于点 F ，连接
．求证：
．
答案
(1) 等腰三角形，
(2)① ； ② 见解析
【分析】（ 1 ）过点 C 作 CH ⊥ BD 于 H ，可得四边形 ABHC 是矩形，即可求得 AC = BH ，进而可判断 △ BCD 的形状， AC 、 BD 都垂直于 l ，可得 △ AOC ∽△ BOD ，根据三角形相似的性质即可求解．
（ 2 ） ① 过点 E 作 于点 H ， AC ， BD 均是直线 l 的垂线段，可得
，根据等边三角形的性质可得
，再利用勾股定理即可求解．
② 连接 ，根据
，得
，即
是等边三角形，把
旋转得
，根据 30° 角所对的直角边等于斜边的一般得到
，则可得
，根据三角形相似的性质即可求证结论．
（ 1 ）
解：过点 C 作 CH ⊥ BD 于 H ，如图所示：
∵ AC ⊥ l ， DB ⊥ l ， CH ⊥ BD ，
∴∠ CAB =∠ ABD =∠ CHB =90° ，
∴ 四边形 ABHC 是矩形，
∴ AC = BH ，
又 ∵ BD =2 AC ，
∴ AC = BH = DH ，且 CH ⊥ BD ，
∴ 的形状为等腰三角形，
∵ AC 、 BD 都垂直于 l ，
∴ ，
∴△ AOC ∽△ BOD ，
，即
，
，
故答案为：等腰三角形， ．
（ 2 ）
① 过点 E 作 于点 H ，如图所示：
∵ AC ， BD 均是直线 l 的垂线段，
∴ ，
∵ 是等边三角形，且
与
重合，
∴∠ EAD =60° ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在 中，
，
，
又 ∵ ，
，
∴ ，
∴ ， AE =6
在 中，
，
又由（ 1 ）知 ，
∴ ，则
，
∴ 在 中，由勾股定理得：
．
② 连接 ，如图 3 所示：
∵ ，
∴ ，
∵ 由（ 1 ）知 是等腰三角形，
∴ 是等边三角形，
又 ∵ 是等边三角形，
∴ 绕点 D 顺时针旋转
后与
重合，
∴ ，
又 ∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题考查了矩形的判定及性质、三角形相似的判定及性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质和勾股定理的应用，巧妙借助辅助线是解题的关键．
