在 Rt△ ABC 中， ∠ ACB ＝ 90° ，以 AC 为直径的 ⊙ O 交 AB 于点 D ，点 E 是边 BC 的中点，连结 DE ．

(1) 求证： DE 是 ⊙ O 的切线；

(2) 若 AD ＝ 4 ， BD ＝ 9 ，求 ⊙ O 的半径．

答案

(1) 见详解

(2)

【分析】（ 1 ）连接 OD ， OE ，由题意易得 OE ∥ AB ， ∠ A =∠ ODA ，则有 ∠ A =∠ COE =∠ DOE =∠ ODA ，然后可得 △ COE ≌△ DOE ，进而问题可求证；

（ 2 ）连接 CD ，由题意易得 ∠ ADC =90° ，然后可证 △ ADC ∽△ CDB ，则有 ，进而可得 CD =6 ，最后利用勾股定理可求解．

【详解】（ 1 ）证明：连接 OD ， OE ，如图所示：

∵ ，

∴∠ A =∠ ODA ，

∵ 点 E 是边 BC 的中点，

∴ OE ∥ AB ，

∴∠ DOE =∠ ODA ， ∠ A =∠ COE ，

∴∠ DOE =∠ COE ，

∵ ，

∴△ COE ≌△ DOE （ SAS ），

∵∠ ACB ＝ 90° ，

∴∠ ODE ＝ ∠ ACB ＝ 90° ，

∴ DE 是 ⊙ O 的切线；

（ 2 ）解：连接 CD ，如图所示：

∵ AC 是 ⊙ O 的直径，

∴∠ ADC ＝ ∠ CDB ＝ 90° ，

∴∠ A +∠ ACD ＝ ∠ ACD +∠ DCB ＝ 90° ，

∴∠ A ＝ ∠ DCB ，

∴△ ADC ∽△ CDB ，

∴ ，即 ，

∵ AD ＝ 4 ， BD ＝ 9 ，

∴ ，

∴ ，

在 Rt△ ADC 中，由勾股定理得： ，

∴⊙ O 的半径为 ．

【点睛】本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．