综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图 1 ，在正方形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， ， EP 与正方形的外角
的平分线交于 P 点．试猜想 AE 与 EP 的数量关系，并加以证明；
(1) 【思考尝试】同学们发现，取 AB 的中点 F ，连接 EF 可以解决这个问题．请在图 1 中补全图形，解答老师提出的问题．
(2) 【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图 2 ，在正方形 ABCD 中， E 为 BC 边上一动点（点 E ， B 不重合）， 是等腰直角三角形，
，连接 CP ，可以求出
的大小，请你思考并解答这个问题．
(3) 【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图 3 ，在正方形 ABCD 中， E 为 BC 边上一动点（点 E ， B 不重合）， 是等腰直角三角形，
，连接 DP ．知道正方形的边长时，可以求出
周长的最小值．当
时，请你求出
周长的最小值．
答案
(1) 答案见解析
(2) ，理由见解析
(3) ，理由见解析
【分析】（ 1 ）取 AB 的中点 F ，连接 EF ，利用同角的余角相等说明 ∠ PEC ＝ ∠ BAE ，再根据 ASA 证明 △ AFE ≌△ ECP ，得 AE ＝ EP ；
（ 2 ）在 AB 上取 AF ＝ EC ，连接 EF ，由（ 1 ）同理可得 ∠ CEP ＝ ∠ FAE ，则 △ FAE ≌△ CEP （ SAS ），再说明 △ BEF 是等腰直角三角形即可得出答案；
（ 3 ）作 DG ⊥ CP ，交 BC 的延长线于 G ，交 CP 于 O ，连接 AG ，则 △ DCG 是等腰直角三角形，可知点 D 与 G 关于 CP 对称，则 AP + DP 的最小值为 AG 的长，利用勾股定理求出 AG ，进而得出答案．
（ 1 ）
解： AE ＝ EP ，
理由如下：取 AB 的中点 F ，连接 EF ，
∵ F 、 E 分别为 AB 、 BC 的中点，
∴ AF ＝ BF ＝ BE ＝ CE ，
∴∠ BFE ＝ 45° ，
∴∠ AFE ＝ 135° ，
∵ CP 平分 ∠ DCG ，
∴∠ DCP ＝ 45° ，
∴∠ ECP ＝ 135° ，
∴∠ AFE ＝ ∠ ECP ，
∵ AE ⊥ PE ，
∴∠ AEP ＝ 90° ，
∴∠ AEB +∠ PEC ＝ 90° ，
∵∠ AEB +∠ BAE ＝ 90° ，
∴∠ PEC ＝ ∠ BAE ，
∴△ AFE ≌△ ECP （ ASA ），
∴ AE ＝ EP ；
（ 2 ）
解：在 AB 上取 AF ＝ EC ，连接 EF ，
由（ 1 ）同理可得 ∠ CEP ＝ ∠ FAE ，
∵ AF ＝ EC ， AE ＝ EP ，
∴△ FAE ≌△ CEP （ SAS ），
∴∠ ECP ＝ ∠ AFE ，
∵ AF ＝ EC ， AB ＝ BC ，
∴ BF ＝ BE ，
∴∠ BEF ＝ ∠ BFE ＝ 45° ，
∴∠ AFE ＝ 135° ，
∴∠ ECP ＝ 135° ，
∴∠ DCP ＝ 45° ；
（ 3 ）
解：作 DG ⊥ CP ，交 BC 的延长线于 G ，交 CP 于 O ，连接 AG ，
由（ 2 ）知， ∠ DCP ＝ 45° ，
∴∠ CDG ＝ 45° ，
∴△ DCG 是等腰直角三角形，
∴ 点 D 与 G 关于 CP 对称，
∴ AP + DP 的最小值为 AG 的长，
∵ AB ＝ 4 ，
∴ BG ＝ 8 ，
由勾股定理得 AG ＝ ，
∴△ ADP 周长的最小值为 AD + AG ＝ ．
【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
