如图，在射线 MB 上， MB =10 ， A 是射线外一点， AB =5 ，且 A 到射线 MB 的距离 AC =3 ，动点 P 从点 M 出发，沿射线 MB 方向以 1 个单位 / 秒的速度运动，设点 P 运动的时间为 t 秒．解答下列问题．
(1) 当 t 为何值时， △ PAB 是等腰三角形；
(2) 当 t 为何值时， △ PAB 是直角三角形．
答案
(1) t =5 或 15 或 2 或
(2) t =6 或
【分析】（ 1 ）在 Rt △ ABC 中， AB =5 ， AC =3 ，由勾股定理可得 BC =4 ， MP = t ．分三种情况 ① BA = BP ， ② AB = AP ， ③ PA = PB 分别进行讨论即可；
（ 2 ）由 ，
，可得
，分两种情况： ① 当
， ② 当
时，分别进行讨论即可．
（ 1 ）
（ 1 ）在 Rt △ ABC 中， AB =5 ， AC =3 ，由勾股定理可得 BC =4 ， MP = t ．下分三种情况
① 若 BA = BP ，如图 1
则有 ，解得
或 15 ；
② 若 AB = AP ，如图 2
则有 PB =2 BC ，故有 ，解得
③ 若 PA = PB ，如图 3
则有 ，解得
．
综上，当 t 为 5 或 15 或 2 或 时， △ PAB 是等腰三角形．
（ 2 ）
解：由 ，
，可得
下分两种情况：
① 当 时，如图 4
点 P 与点 C 重合，则
② 当 时，如图 5
则有 ，解得
．
综上，当 t 为 6 或 时， △ PAB 是直角三角形．
【点睛】本题考查勾股定理及其逆用，分类讨论思想，能够根据题意进行分类讨论是解决本题的关键．
。
