如图，在矩形 ABCD 中，边 AB 的长为 4 ，点 E ， F 分别在 AD ， BC 上，连接 BE ， DF ， EF ， BD ，若四边形 BEDF 是菱形，且 EF = AE + FC ，则边 BC 的长为（ ）

A ． B ． C ． D ．

答案

C

【分析】根据矩形的性质和菱形的性质得 ∠ ABE =∠ EBD =∠ DBC =30° ， AB = BO =4 ，因为四边形 BEDF 是菱形，所以可求出 BE ， AE ，进而可求出 BC 的长．

【详解】解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形，四边形 BEDF 是菱形，

∴∠ ABC =∠ A =∠ C =90° ， AD = BC ， DE = BF ， OE = OF ， EF ⊥ BD ， ∠ EBO = FBO ，

∴ AE = FC ．

又 EF = AE + FC ，

∴ EF =2 AE =2 CF ，

又 EF =2 OE =2 OF ，

∴ AE = OE ，

在 Rt △ ABE 和 Rt △ OBE 中，

，

∴ Rt △ ABE ≌ Rt △ OBE （ HL ），

∴∠ ABE =∠ OBE ，

∴∠ ABE =∠ EBD =∠ DBC =30° ，

∴ BE =2 AE ，

BE ² = AB ² + AE ² ，即 (2 AE ) ² =4 ² + AE ² ，

∴ AE = = ，

BE = ，

∴ BF = BE = ，

∴ CF = AE = ，

∴ BC = BF + CF =4 ，

故选： C ．

【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识；解题的关键是求出 ∠ ABE =∠ EBD =∠ DBC =30° ．