如图,在平面直角坐标系中, Rt △ ABC 的顶点 A 在 x 轴的负半轴上, ∠ ACB = 90° , AB 交 y 轴于点 D ,且 AD = BD .点 F 在 x 轴的正半轴上,连接 CF , CB 平分 ∠ DCF .若 , , ,则点 B 的坐标为( )
A .( , ) B .( , ) C .( , ) D .( , )
D
【分析】如图,过点 B 作 BG ⊥ y 轴于 G ,连接 BF ,证明 CF AB ,得 S △ ACB = S △ ABF = 2 S △ CDB = ,根据三角形面积公式可得 OG 的长,证明 △ AOD ≌△ BGD ( AAS ),可得 BG = AO = ,进而可得点 B 的坐标.
【详解】解:如图,过点 B 作 BG ⊥ y 轴于 G ,连接 BF ,
∵ , ,
∴ OA = , AF = + = 3 ,
∵ CB 平分 ∠ DCF ,
∴∠ DCB = ∠ BCF ,
∵∠ ACB = 90° , AD = BD ,
∴ CD = BD ,
∴∠ DCB = ∠ CBD ,
∴∠ CBD = ∠ BCF ,
∴ CF AB ,
∴ S △ ACB = S △ ABF = 2 S △ CDB = 2× = ,
∴ AF · OG = ,即 OG = ,
∴ OG = ,
∵ AD = BD , ∠ ADO = ∠ BDG , ∠ AOD = ∠ BGD = 90° ,
∴△ AOD ≌△ BGD ( AAS ),
∴ BG = AO = ,
∴ B ( ,﹣ ).
故选: D .
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质,坐标和图形的性质,平行线的判定,等腰三角形的判定和性质,三角形的面积,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型.
特殊位置的点的坐标的特点:
1.x轴上的点的纵坐标为零;y轴上的点的横坐标为零。
2.第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等;第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。
3.在任意的两点中,如果两点的横坐标相同,则两点的连线平行于纵轴;如果两点的纵坐标相同,则两点的连线平行于横轴。
4.点到轴及原点的距离
点到x轴的距离为|y|; 点到y轴的距离为|x|;点到原点的距离为x的平方加y的平方的平方根;
对称点:
1.关于x轴成轴对称的点的坐标,横坐标相同,纵坐标互为相反数。(横同纵反)
2.关于y轴成轴对称的点的坐标,纵坐标相同,横坐标互为相反数。(横反纵同)
3.关于原点成中心对称的点的坐标,横坐标与横坐标互为相反数,纵坐标与纵坐标互为相反数。(横纵皆反)
点的符号:
横坐标 纵坐标
第一象限:(+,+)正正
第二象限:(-,+)负正
第三象限:(-,-)负负
第四象限:(+,-)正负
x轴正半轴:(+,0)
x轴负半轴:(-,0)
y轴正半轴:(0,+)
y轴负半轴: (0,-)
x轴上的点的纵坐标为0,y轴上的点的横坐标为0。
原点:(0,0)
注:以数对形式(x,y)表示的坐标系中的点(如2,-4),“2”是x轴坐标,“-4”是y轴坐标。
其他公式:
1.坐标平面内的点与有序实数对一一对应。
2. 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。
3.二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。
4.一点上下平移,横坐标不变,即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。
5.y轴上的点,横坐标都为0。
6.x轴上的点,纵坐标都为0。
7.坐标轴上的点不属于任何象限。
8.一个关于x轴对称的点横坐标不变,纵坐标变为原坐标的相反数。反之同样成立。
9.一个关于原点对称的点横纵坐标均为原坐标相反数。
10.与x轴做轴对称变换时,x不变,y变
11.与y轴做轴对称变换时,y不变,x变
12.与原点做轴对称变换时,y与x都变
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