已知关于x的方程

已知关于 x 的方程的两个根分别是 -1 和 3 ，若抛物线与 y 轴交于点 A ，过 A 作轴，交抛物线于另一交点 B ，则 AB 的长为（）

A ． 2 B ． 3 C ． 1 D ． 1.5

答案

【解析】

【分析】

根据方程的两根求出 b 、 c 的值，代入抛物线解析式，求出点 A 坐标， A 、 B 两点纵坐标相同，从而求出 B 点坐标， AB 的长即可求出．

【详解】

将 -1 ， 3 分别代入，

，

解得，

∴ 抛物线解析式为：，

∴ 与 y 轴交点为： A （ 0 ， 6 ），

∵ AB ⊥ y 轴， ∴ B 的纵坐标为 6 ，

代入抛物线解得，，

∴ B （ 2 ， 6 ）

∴ AB =2-0=2 ．

故选： A ．

【点睛】

本题考查了抛物线与 y 轴的交点，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握根与系数的关系是解题的关键．

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九上第二十二章二次函数

二次函数与一元二次方程

试题详情

难度：

使用次数：100

更新时间：2022-06-05

纠错

已知关于 x 的方程的两个根分别是 -1 和 3 ，若抛物线与 y 轴交于点 A ，过 A 作轴，交抛物线于另一交点 B ，则 AB 的长为（）

A ． 2 B ． 3 C ． 1 D ． 1.5

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题型：选择题

知识点：二次函数与一元二次方程

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【答案】

【解析】

【分析】

根据方程的两根求出 b 、 c 的值，代入抛物线解析式，求出点 A 坐标， A 、 B 两点纵坐标相同，从而求出 B 点坐标， AB 的长即可求出．

【详解】

将 -1 ， 3 分别代入，

，

解得，

∴ 抛物线解析式为：，

∴ 与 y 轴交点为： A （ 0 ， 6 ），

∵ AB ⊥ y 轴， ∴ B 的纵坐标为 6 ，

代入抛物线解得，，

∴ B （ 2 ， 6 ）

∴ AB =2-0=2 ．

故选： A ．

【点睛】

本题考查了抛物线与 y 轴的交点，根与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，掌握根与系数的关系是解题的关键．

考点梳理:

根据可圈可点权威老师分析，试题“ ”主要考查你对一元二次方程根的判别式等考点的理解。关于这些考点的“资料梳理”如下：

◎ 一元二次方程根的判别式的定义

根的判别式：
一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
定理1 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0

方程有两个不等实数根；
定理2 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0

方程有两个相等实数根；
定理3 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0

方程没有实数根。

根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根

△＞0；
定理5 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根

△＝0；
定理6 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根

◎ 一元二次方程根的判别式的知识扩展

1.一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac。
定理1 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＞0

方程有两个不等实数根；
定理2 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△=0

方程有两个相等实数根；
定理3 ax²+bx+c=0（a≠0）中，△＜0

方程没有实数根。
2、根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。
定理4 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个不等实数根

△＞0；
定理5 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程有两个相等实数根

△＝0；
定理6 ax²+bx+c=0（a≠0）中，方程没有实数根

△＜0。
注意：（1）再次强调：根的判别式是指△=b²-4ac。
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
（3）如果说方程，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b²-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4）根的判别式b²-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0。
3、根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线

（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

◎ 一元二次方程根的判别式的特性

根的判别式有以下应用：
①不解一元二次方程，判断根的情况。
②根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围。
③证明字母系数方程有实数根或无实数根。
④应用根的判别式判断三角形的形状。
⑤判断当字母的值为何值时，二次三项是完全平方式。
⑥可以判断抛物线与直线有无公共点。
⑦可以判断抛物线与x轴有几个交点。
⑧利用根的判别式解有关抛物线

（△>0）与x轴两交点间的距离的问题。

◎ 一元二次方程根的判别式的教学目标

1、能用b2－4ac的值判断一元二次方程根的情况。
2、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b2－4ac对根的情况的判断作用。
3、在理解根的判别式的推导过程中，体会严密的思维过程。

◎ 一元二次方程根的判别式的考试要求

能力要求：掌握
课时要求：80
考试频率：常考
分值比重：4

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更新时间：2021-07-13